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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 2.7 - Ex. 9

Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado.

y = x - 1 x - 2 ( 3,2 )

Passo 1

E aí, tudo bem?! O enunciado nos dá a curva:

y = x - 1 x - 2

E pede pra a gente encontrar a equação da sua reta tangente no ponto 3,2 .

Pra isso vamos lembrar da equação geral de uma reta:

y - y o = m ( x - x o )

Ou seja, a gente precisa de um ponto (temos) e de m . O m é ninguém mais ninguém menos que o coeficiente angular da reta tangente e pra encontra-lo usamos a seguinte fórmula:

m = lim h → 0 ⁡ f ( a + h ) - f ( a ) h

Esse f ( a ) é a coordenada y do ponto de tangência que foi dado no enunciado!

Passo 2

Vamos colocar a mão na massa! O nosso ponto é 3,2 , então:

m = lim h → 0 ⁡ f ( 3 + h ) - f ( 3 ) h

Onde:

f 3 = 2

f ( 3 + h ) = ( h + 3 ) - 1 ( h + 3 ) - 2 = h + 2 h + 1

Substituindo tudo na expressão do limite, temos:

m = lim h → 0 ⁡ h + 2 h + 1 - 2 h

Passo 3

A gente não pode substituir o h = 0 de cara pois teríamos uma divisão por zero, então vamos manipular essa equação até esse problema sumir!

Podemos começar subindo esse h :

m = lim h → 0 ⁡ h + 2 h + 1 - 2 h = lim h → 0 ⁡ h + 2 h + 1 - 2 1 h  

m = lim h → 0 ⁡ h + 2 - 2 ( h + 1 ) h ( h + 1 ) = lim h → 0 ⁡ h + 2 - 2 h - 2 h ( h + 1 ) = lim h → 0 ⁡ - h h ( h + 1 )

“Cortando” o h do numerador com o h do denominador, temos:

m = lim h → 0 ⁡ - 1 ( h + 1 ) = - 1

Passo 4

Com o coeficiente angular da reta já calculado, vamos substituir o ponto e esse coeficiente na equação da reta tangente.

y - y o = m ( x - x o )

Nosso ponto é 3,2 :

y - 2 = - 1 ( x - 3 )

y - 2 = - x + 3

Isolando o y :

y = - x + 3 + 2

y = - x + 5

Aweee!!

Resposta

y = - x + 5

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