Se f 1 = 10 e para f ' ( x ) ≥ 2 para 1 ≤ x ≤ 4 quão pequeno f ( 4 )   pode ser?

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade. Queremos saber qual pequeno f ( 4 ) pode ser dado as informações que temos sobre a função:

f 1 = 10

f ' ( x ) ≥ 2

No intervalo:

1 ≤ x ≤ 4

O Teorema do Valor Médio para integrais estabelece que se uma função f ( x ) é contínua em um intervalo fechado [ a ,   b ] e derivável em um intervalo aberto a ,   b , então existe pelo menos um número c em ( a ,   b ) tal que:

f ' c = f b - f ( a ) b - a

Pelo Teorema do Valor Médio, temos que f 4 - f 1 = f ' ( c ) ( 4 - 1 ) para algum número c pertencente ao intervalo ( 1,4 ) .

Passo 2

Dado que f ' x ≥   2 para   1 ≤   x ≤   4 , sabemos que a função está aumentando a uma taxa de pelo menos 2 unidades por unidade de x nesse intervalo.

Para encontrar o valor m��nimo possível de f 4 , podemos usar a propriedade de que a função está aumentando a uma taxa constante de 2 unidades por unidade de x .

Isso significa que o menor valor possível de f ( 4 ) ocorre quando a função aumenta a uma taxa constante de 2 unidades por unidade de x de f ( 1 ) até f 4 .

Assim, podemos calcular f ( 4 ) adicionando 2 unidades a f ( 1 ) por cada unidade de x de 1 a 4 :

f 4 - f 1 = f ' c 4 - 1

Calculando:

f 4 =   f 1 +   2   ⋅ 4   -   1

f 4 =   10   +   2   ⋅ 3  

f 4 =   10   +   6  

f 4 =   16

Portanto, o menor valor possível de f ( 4 ) é 16 .

Resposta

O menor valor possível para f ( 4 ) é 16.

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