Prove o Teorema5.4 \* 4 .

Passo 1

E aí? Tudo bem?

Essas questõeszinhas de provar são sempre chatinhas né?!

A primeira coisa que a gente tem que entender é o que a questão quer que a gente prove. Nesse caso aqui é:

  1. lim n → + ∞ ⁡ 1 n ∑ k = 1 n 1 = 1
  2. lim n → + ∞ ⁡ 1 n 2 ∑ k = 1 n k = 1 2
  3. lim n → + ∞ ⁡ 1 n 3 ∑ k = 1 n k 2 = 1 3
  4. lim n → + ∞ ⁡ 1 n 4 ∑ k = 1 n k 3 = 1 4

É um montão de coisa, mas a gente já tem umas ajudinhas do Teorema 5.4 . 2 ! Vamos usar!

Passo 2

  1. Esse somatório com 1 aí fica assim:
  2. lim n → + ∞ ⁡ 1 n (   n )

    Aí a gente simplifica e...

    l i m n → + ∞ 1 = 1

    Prontinho! Essa já foi😉

    Passo 3

  3. Aqui a gente usa a parte ( a ) do Teorema 5.4 . 2 :

Fica assim:

lim n → + ∞ ⁡ 1 n 2 ∑ k = 1 n k = 1 2

l i m n → + ∞ 1 n 2 n n + 1 2

l i m n → + ∞ 1 2 n n + 1

l i m n → + ∞ 1 2 + 1 2 n

= 1 2

Show de bola! Provadinho😚

Passo 3

  1. Aqui a gente vai usar a parte b do teorema 5.4.2:
  2. lim n → + ∞ ⁡ 1 n 3 n n + 1 2 n + 1 6

    l i m n → + ∞ 1 n 2 n + 1 2 n + 1 6

    l i m n → + ∞ 1 n 2 2 n 2 + 3 n + 1 6

    l i m n → + ∞ 2 6 + 3 6 n + 1 6 n 2

    l i m n → + ∞ 2 6 = 2 6 = 1 3

    Prontinho! Provamos mais uma😊

    Passo 5

  3. Só falta mais essa agora! A gente vai usar a parte ( c ) do teorema 5.4.2 e matar mais essa!

lim n → + ∞ ⁡ 1 n 4 ∑ k = 1 n k 3

l i m n → + ∞ 1 n 4 n 2 n + 1 2 4

l i m n → + ∞ 1 4 n 2   n 2 + 2 n + 1

l i m n → + ∞ 1 4 + 2 4 n 2 + 1 4 n 2

= 1 4

E assim provamos mais uma e encerramos nossa questão de demonstração😻

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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