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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.4 - Ex. 68

Prove o Teorema 5.4 . 4 .

Passo 1

E aí? Tudo bem?

Essas questõeszinhas de provar são sempre chatinhas né?!

A primeira coisa que a gente tem que entender é o que a questão quer que a gente prove. Nesse caso aqui é:

  1. underset(n -> + oo)(lim) (1)/(n) sum_(k = 1)^n 1 = 1
  2. underset(n -> + oo)(lim) (1)/(n^2) sum_(k = 1)^n k = (1)/(2)
  3. underset(n -> + oo)(lim) (1)/(n^3) sum_(k = 1)^n k^2 = (1)/(3)
  4. underset(n -> + oo)(lim) (1)/(n^4) sum_(k = 1)^n k^3 = (1)/(4)

É um montão de coisa, mas a gente já tem umas ajudinhas do Teorema 5.4 . 2 ! Vamos usar!

Passo 2

  1. Esse somatório com 1 aí fica assim:

    2. underset(n -> + oo)(lim) (1)/(n) ( n )

    Aí a gente simplifica e...

    underset(n -> + oo)(l i m) 1 = 1

    Prontinho! Essa já foi😉

    Passo 3

  2. Aqui a gente usa a parte ( a ) do Teorema 5.4 . 2 :

Fica assim:

underset(n -> + oo)(lim) (1)/(n^2) sum_(k = 1)^n k = (1)/(2)

underset(n -> + oo)(l i m) (1)/(n^2) ((n (n + 1))/(2))

underset(n -> + oo)(l i m) (1)/(2 n) (n + 1)

underset(n -> + oo)(l i m) (1)/(2) + (1)/(2 n)

= (1)/(2)

Show de bola! Provadinho😚

Passo 3

  1. Aqui a gente vai usar a parte (b) do teorema 5.4.2:

    2. underset(n -> + oo)(lim) (1)/(n^3) ((n (n + 1) (2 n + 1))/(6))

    underset(n -> + oo)(l i m) (1)/(n^2) (((n + 1) (2 n + 1))/(6))

    underset(n -> + oo)(l i m) (1)/(n^2) ((2 n^2 + 3 n + 1)/(6))

    underset(n -> + oo)(l i m) (2)/(6) + (3)/(6 n) + (1)/(6 n^2)

    underset(n -> + oo)(l i m) (2)/(6) = (2)/(6) = (1)/(3)

    Prontinho! Provamos mais uma😊

    Passo 5

  2. Só falta mais essa agora! A gente vai usar a parte ( c ) do teorema 5.4.2 e matar mais essa!

underset(n -> + oo)(lim) (1)/(n^4) sum_(k = 1)^n k^3

underset(n -> + oo)(l i m) (1)/(n^4) [(n^2 (n + 1)^2)/(4)]

underset(n -> + oo)(l i m) (1)/(4 n^2) (n^2 + 2 n + 1)

underset(n -> + oo)(l i m) (1)/(4) + (2)/(4 n^2) + (1)/(4 n^2)

= (1)/(4)

E assim provamos mais uma e encerramos nossa questão de demonstração😻

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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