Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.5 - Ex. 30

Uma lata cilíndrica fechada deve ter uma área superficial de unidades quadradas. Mostre que uma lata com volume máximo é obtida quando a altura for igual ao diâmetro da base.

Passo 1

Então pessoal, inicialmente o que devemos fazer é definir as variáveis do nosso problema, beleza? Temos que é a altura da lata cilíndrica e é o raio da base. A área de superfície de um cilindro circular reto (que é a geometria da nossa lata) é dada por:

E o volume é dado pelo produto entre a área da base a altura. Como a área da base é uma circunferência, então:

Isolando na expressão de , teremos:

Substituindo em , teremos:

Fizemos isso para eliminar do nosso problema, já que é uma outra variável, além de !

Passo 2

Como queremos um volume máximo, então vamos utilizar as noções de cálculo, se liga:

Igualando nossa derivada a zero, teremos:

Mas como fazemos para saber se esse ponto crítico é um ponto de máximo? Basta encontrarmos a derivada segunda da nossa função e ver se a concavidade é para cima ou para baixo no ponto crítico em questão! Derivando nossa derivada:

Como é sempre positivo, então nossa derivada segunda sempre será negativa! Esse resultado implica em uma concavidade para baixo, ou seja, um ponto de máximo, que é o resultado esperado!