Prove que o triângulo com vértices A(3,-6), B(8,-2) e C(-1,-1) é retângulo. Ache a área do triângulo. (Sugestão: Use o inverso do teorema de Pitágoras)

Passo 1

Fala aii! Pra resolver essa questão, inicialmente vamos marcar os pontos A, B e C no plano cartesiano e fazer o esboço do triângulo.

Seja dAB a distância entre os pontos A e B ,   d A C a distâncias entre os pontos A e C e d B C a distância entre os pontos B e C. Para provarmos que o triângulo ABC é retângulo basta mostrarmos que este satisfaz o teorema de Pitágoras, ou seja, que:

d B C 2 = d A B 2 + d A C 2

Bora começar então!

Passo 2

Vamos determinar cada uma dessas distâncias através da fórmula d 12 =   x 1 - x 2 2 + y 1 - y 2 2 :

d A B =   8 - 3 2 + - 2 - - 6 2

d A B = 5 2 + 4 2

d A B = 25 + 16  

d A B = 41

d A C = - 1 - 3 2 + - 1 - - 6 2

d A C = - 4 2 + 5 2

d A C = 16 + 25

d A C = 41

d B C = - 1 - 8 2 + - 1 - - 2 2

d B C = - 9 2 + 1 2

d B C = 81 + 1

d B C = 82

Passo 3

Observe que

d A B 2 + d A C 2 = 41 2 + 41 2 = 41 + 41 = 82  

Por outro lado

d B C = 82 2 = 82

Portanto,

d B C 2 = d A B 2 + d A C 2

Ou seja, o triângulo ABC é retângulo, como queríamos mostrar.

Passo 4

Agora pra calcular a área vamos usar a clássica:

á r e a = b a s e ×   a l t u r a 2

á r e a =   41   . 41   2 = 20,5

Resposta

O triângulo ABC é retângulo.

á r e a = 20,5

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