Prove, usando a definição de uma derivada, que

lim x → 0 ⁡ log a ⁡ 1 + x x = log a ⁡ e

Passo 1

A definição de derivada é

f ' x 0 = lim x → x 0 ⁡ f x - f x 0 x - x 0

Se comparamos ela com o limite que ele pediu:

lim x → 0 ⁡ log a ⁡ 1 + x x

Vamos ter

x = x - x 0

Então devemos pegar x 0 = 0

No nosso numerador, vamos ter

log a ⁡ 1 + x = f x - f 0

Repara que

log a ⁡ 1 + 0 = log a ⁡ 1 = 0

Então, se pegarmos

f x = log a ⁡ 1 + x

Vamos ter certinho a derivada em 0

lim x → 0 ⁡ log a ⁡ 1 + x x = f ' 0

Passo 2

Vamos achar a derivada de f x

f x = log a ⁡ 1 + x

Primeiro vamos fazer a mudança de base para colocar na base do logaritmo natural.

f x = ln ⁡ 1 + x ln ⁡ a

Vamos usar a regra da cadeia e não podemos esquecer que ln ⁡ a é uma constante.

f ' x = ln ⁡ 1 + x ln ⁡ a ' = ln ⁡ 1 + x ' ln ⁡ a = 1 1 + x ∙ 1 + x ' ln ⁡ a = 1 1 + x ln ⁡ a

Agora, vamos achar essa derivada em 0

f ' 0 = 1 1 + 0 ln ⁡ a = 1 ln ⁡ a

Ele pediu no enunciado, o log na base a , então vamos passar o ln ⁡ a para base a

ln ⁡ a = log a ⁡ a log a ⁡ e

Voltando para nossa derivada:

f ' 0 = 1 1 + 0 ln ⁡ a = 1 ln ⁡ a = 1 log a ⁡ a log a ⁡ e = log a ⁡ e log a ⁡ a = log a ⁡ e

Passo 3

Para terminar

lim x → 0 ⁡ log a ⁡ 1 + x x = f ' 0 = log a ⁡ e

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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