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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.Revisão - Ex. 65

Prove, usando a definição de uma derivada, que

underset(x -> 0)(lim) (log_a (1 + x))/(x) = log_a e

Passo 1

A definição de derivada é

f^' (x_0) = underset(x -> x_0)(lim) (f (x) - f (x_0))/(x - x_0)

Se comparamos ela com o limite que ele pediu:

underset(x -> 0)(lim) (log_a (1 + x))/(x)

Vamos ter

x = x - x_0

Então devemos pegar x_0 = 0

No nosso numerador, vamos ter

log_a (1 + x) = f (x) - f (0)

Repara que

log_a (1 + 0) = log_a (1) = 0

Então, se pegarmos

f (x) = log_a (1 + x)

Vamos ter certinho a derivada em 0

underset(x -> 0)(lim) (log_a (1 + x))/(x) = f^' (0)

Passo 2

Vamos achar a derivada de f (x)

f (x) = log_a (1 + x)

Primeiro vamos fazer a mudança de base para colocar na base do logaritmo natural.

f (x) = (ln (1 + x))/(ln a)

Vamos usar a regra da cadeia e não podemos esquecer que ln a é uma constante.

f^' (x) = ((ln (1 + x))/(ln a))^' = ((ln (1 + x))^')/(ln a) = ((1)/(1 + x) * (1 + x)^')/(ln a) = (1)/((1 + x) ln a)

Agora, vamos achar essa derivada em 0

f^' (0) = (1)/((1 + 0) ln a) = (1)/(ln a)

Ele pediu no enunciado, o log na base a , então vamos passar o ln a para base a

ln a = (log_a a)/(log_a e)

Voltando para nossa derivada:

f^' (0) = (1)/((1 + 0) ln a) = (1)/(ln a) = (1)/((log_a a)/(log_a e)) = (log_a e)/(log_a a) = log_a e

Passo 3

Para terminar

underset(x -> 0)(lim) (log_a (1 + x))/(x) = f^' (0) = log_a e

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Dê exemplo (por meio de um gráfico) de uma função f , definida e derivável em R , tal que f ' x0 para todo x .
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Seja g x = x 2 + 2 ,s e x1 2 x + 1 ,s e x ≥ 1 a ) Mostre que g é derivável em p = 1 e calcule g ' 1 . b ) Esboce o gráfico de g .