Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.2 - Ex. 15
Seja
Mostre que é derivável em e calcule
Esboce o gráfico de .
Passo 1
Usando a definição de derivada:
Bom, como aqui essa função é quebrada em temos que ver se esse limite converge para o mesmo ponto tanto pela direita, quanto pela esquerda.
Passo 2
Começando pela esquerda. Fazemos o limite para quando :
Agora simplificando ao máximo esse limite temos:
Show! Agora fazemos o mesmo processo, mas para a direita. Quando :
Agora simplificando ao máximo esse limite temos:
Opa! Como temos valores iguais para os limites bilaterais, então essa função é derivável em :
Passo 3
Vamos ao esboço? Bora lá!
Com a ajuda de um programa de geração de gráficos temos:
Em azul temos a parábola e em vermelho temos a reta . Vemos que em há uma transição suave entre as curvas e justamente por isso nesse ponto a função é derivável.
Resposta
