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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.5 - Ex. 37

37. Prove que a função sinal é descontínua em [ - 1,1 ] e mesmo assim é integrável nesse intervalo. Mostre também que ∫ - 1 1 s g n x   d x = 0

Passo 1

Vamos definir o que é essa função e partimos pra provar o que a questão pede.

Passo 2

A função sinal retorna o sinal do número real do intervalo. Como assim?

O intervalo é [ - 1,1 ] , então...

s g n x = - 1 :             x < 0           0 :                 x = 0           1 :                 x > 0

Para x < 0 , a função terá o valor -1

Para x = 0 , a função terá valor 0

Para x > 0 , a função terá valor 1

Como a função “pula” de -1 para 0 e de 0 para 1, ela é descontínua.

Passo 3

Agora vamos mostrar que ∫ - 1 1 s g n x   d x = 0

Precisamos dividir em 3 partes, porque a função assume 3 valores diferentes, vai ficar assim:

∫ - 1 1 s g n x   d x = ∫ - 1 0 - s g n x d x + ∫ 0 - 0 + s g n x   d x + ∫ 0 + 1 s g n x   d x

De 0 à esquerda até 0 à direita só tem o 0 mesmo . Então as integrais ficam:

∫ - 1 0 - s g n x d x = ∫ - 1 0 - - 1 d x = - x - 1 0 = 0 - 1 = - 1

∫ 0 - 0 + s g n x   d x = ∫ 0 - 0 + 0 d x = 0

∫ 0 + 1 s g n x   d x = ∫ 0 + 1 1   d x = x 0 + 1 = 1

Passo 4

Agora somando as integrais...

∫ - 1 1 s g n x   d x = - 1 + 0 + 1 = 0

Provado =]

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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