Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.7 - Ex. 14
Uma pedra caiu dentro de um lago, produzindo uma ondulação circular que cresce para fora a uma velocidade de . Encontre a taxa segundo a qual a área dentro do círculo está crescendo depois de (a) , (b) e (c) . O que você pode concluir?
Passo 1
Fala aí! tudo certinho?
Nesse problema temos uma onda circular cujo raio cresce a uma velocidade de .
A partir daí queremos descobrir qual é a taxa de crescimento do círculo depois de , e .
Parece complicado?
A area do circulo é dada por
Mas está variando com o tempo.
Essa variação é dada pela velocidade dada no enunciado...
Foi dito que a velocidade do raio é de , ou seja, uma velocidade linear.
Podemos expressar o raio como uma função do tempo dada por
Portanto, a área do círculo também passa a ser uma função do tempo, temos que
Assim, como a taxa de variação pode ser interpretado como a sua derivada no tempo, vamos obter e determinar as variações pedidas...
Tranquilo até aqui?
Passo 2
Derivando a função área pela regra da potencia, temos
Show?
Passo 3
Agora, basta substituirmos os valores de que temos no enunciado
Para
Para
Para
A medida que o tempo passa, a área do círculo cresce a uma taxa crescente.
De fato, a taxa de mudança é linear em relação ao tempo pois .
É isso! O que achou? Responde Aí!