Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.7 - Ex. 18
Se um tanque tem galões de água, que escoa pelo fundo em minutos, então a Lei de Torricelli dá o volume de água que restou no tanque depois de minutos como
Encontre a taxa segundo a qual a água esta escoando do tanque depois de (a) min, (b) min, (c) min e (d) min. Em que instante o escoamento é mais rápido? E mais vagaroso? Resuma o que você encontrou.
Passo 1
Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente encontrar a taxa segundo a qual a água está escoando em um tanque de galões, nos instantes , , e , sabendo que o volume de água desse tanque é modelado pela equação:
No intervalo .
Como ele quer saber a taxa, a gente já percebe que vamos precisar da derivada dessa função em relação a . Depois, basta a gente substituir os valores de que o enunciado nos deu para descobrir a taxa na qual o volume está escoando naquele instante. Em seguida, vamos analisar nossos resultados para descobrir quando esse escoamento é mais rápido e quando é mais vagaroso.
Vamos lá!
Passo 2
Primeiramente, necessitamos encontrar uma expressão para a taxa de variação, para isso, basta derivarmos em relação a .
Mas perceba que
Essa é uma função composta, já eu temos a função que está dentro dos parênteses elevada ao quadrado. podendo ser entendida como
E
Para fazer sua derivada precisamos usar a regra da cadeia. Assim:
Ou seja, fazendo a derivada da função de fora multiplicada pela derivada da função de dentro.
E
Encaixando tudo isso em nosssa função , teremos:
Substituindo
Calculando os produtos e simplificando, temos:
Encontramos a nossa taxa de variação.
Passo 3
Agora, basta substituirmos os valores de , dados no enunciado, na equação de . Assim, temos:
Para :
Para :
Para :
E para :
Passo 4
Agora analisando a nossa taxa de escoamento , como ela é uma função linear, temos que o escoamento mais rápido se dá no instante , onde:
E o mais lento é observado dá no instante onde:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉