Se um tanque tem 5000 galões de água, que escoa pelo fundo em 40 minutos, então a Lei de Torricelli dá o volume V de água que restou no tanque depois de t minutos como

V = 5000 ⋅ 1 - t 40 2         0 ≤ t ≤ 40

Encontre a taxa segundo a qual a água esta escoando do tanque depois de (a) 5   min, (b) 10 min, (c) 20 min e (d) 40 min. Em que instante o escoamento é mais rápido? E mais vagaroso? Resuma o que você encontrou.

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar a taxa segundo a qual a água está escoando em um tanque de 5000 galões, nos instantes t = 5 , t = 10 , t = 20 e t = 40 , sabendo que o volume de água desse tanque é modelado pela equação:

V = 5000 ⋅ 1 - t 40 2  

No intervalo 0 ≤ t ≤ 40 .

Como ele quer saber a taxa, a gente já percebe que vamos precisar da derivada dessa função V em relação a t . Depois, basta a gente substituir os valores de t que o enunciado nos deu para descobrir a taxa na qual o volume está escoando naquele instante. Em seguida, vamos analisar nossos resultados para descobrir quando esse escoamento é mais rápido e quando é mais vagaroso.

Vamos lá!

Passo 2

Primeiramente, necessitamos encontrar uma expressão para a taxa de variação, para isso, basta derivarmos V em relação a t .

d V d t = V '

Mas perceba que

V = 5000 ⋅ 1 - t 40 2

Essa é uma função composta, já eu temos a função que está dentro dos parênteses elevada ao quadrado. podendo ser entendida como

g t = 1 - t 40

E

f g t = g 2

Para fazer sua derivada precisamos usar a regra da cadeia. Assim:

f g t ' = f ' g ⋅ g ' t

Ou seja, fazendo a derivada da função de fora multiplicada pela derivada da função de dentro.

f ' g = 2 g

E

g ' t = - 1 40

Encaixando tudo isso em nosssa função V , teremos:

V ' = 5000 ⋅ 2 ⋅ g ⋅ 1 - t 40 '

Substituindo g = 1 - t 40

V ' = 5000 ⋅ 2 ⋅ 1 - t 40 ⋅ - 1 40

Calculando os produtos e simplificando, temos:

V ' = - 250 ⋅ 1 - t 40

V ' = 250 ⋅ t 40 - 1

Encontramos a nossa taxa de variação.

Passo 3

Agora, basta substituirmos os valores de t , dados no enunciado, na equação de V ' . Assim, temos:

Para t = 5   m i n :

V ' = 250 5 40 - 1

V ' = - 218,75   g a l õ e s / m i n

Para t = 10   m i n :

V ' = 250 10 40 - 1

V ' = - 187,5   g a l õ e s / m i n

Para t = 20   m i n :

V ' = 250 20 40 - 1

V ' = - 125   g a l õ e s / m i n

E para t = 40   m i n :

V ' = 250 40 40 - 1

V ' = 0   g a l õ e s / m i n

Passo 4

Agora analisando a nossa taxa de escoamento V ' , como ela é uma função linear, temos que o escoamento mais rápido se dá no instante t = 0 , onde:

V ' 0 = - 250   g a l õ e s / m i n

E o mais lento é observado dá no instante t = 40 onde:

V ' 40 = 0   g a l õ e s / m i n

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

  1. t = 5   m i n
  2. V ' = - 218,75   g a l õ e s / m i n

  3. t = 10 m i n
  4. V ' = - 187,5   g a l õ e s / m i n

  5. t = 20   m i n
  6. V ' = - 125   g a l õ e s / m i n

  7. t = 40 m i n

V ' = 0   g a l õ e s / m i n

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