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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.7 - Ex. 17

A massa de parte de uma barra de metal que está situada entre o extremo esquerdo e um ponto x metro a direita é 3 x 2   k g . Encontre a densidade linear (veja o exemplo 2) quando x for (a) 1m, (b) 2m e (c) 3m. Onde a densidade é maior? E menor?

Passo 1

Vamos lá! Temos uma barra de metal na seguinte situação:

Onde m é a massa que o comprimento x dessa barra. Queremos saber a densidade linar da barra quando x for igual a ( a )   1 m ,   ( b )   2 m   e   ( c )   3 m e depois devemos comparar esses valores!

A densidade linear é a variação de massa por comprimento. Então vamos derivar m com respeito a x :

m x = 3 x 2

ρ ( x ) = m ' x = 6 x

Passo 2

Agora, basta substituir os valores no lugar de x

  1. ρ 1 = 6 k g / m

  2. ρ 2 = 12 k g / m

ρ 3 = 18 k g / m

A maior densidade é quando x = 3 e a menor quando x = 1 . Isso faz muito sentido pois a massa é prorcional ao quadrado do comprimento, então quando a gente aumenta o comprimento aumentamos muito a massa!

Resposta

  1. ρ 1 = 6 k g / m

  2. ρ 2 = 12 k g / m

ρ 3 = 18 k g / m

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