Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.7 - Ex. 11
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Uma companhia produz chips de computador a partir de placas quadradas de silício. Ela quer manter o comprimento do lado da placa muito próximo de e deseja saber como a área da placa varia quando mudamos o comprimento do lado. Encontre e explique seu significado nessa situação.
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Mostre que a taxa de variação da área de um quadrado em relação ao comprimento de seu lado é a metade de seu perímetro. Tente explicar geometricamente por que isso é verdade, desenhando um quadrado cujo comprimento de lado é aumentado em . Como aproximar as mudanças resultantes na área se for pequeno?
Passo 1
E aí! tudo certinho?
Nesse problema temos um chip de computador sendo quadrado e cujo lado é próximo de . A partir daí quermos saber como a área varia conforme mudamos o comprimento do lado do chip e também temos que calcular .
Além disso temos que mostrar que a taxa de variação da área de um quadrado é metade do perímetro e como aproximamos se for pequeno.
Bastante coisa, não é?
Para responder essa pergunta, temos que lembrar como calculamos a área do quadrado...
A partir daí, temos que lembrar que é uma função... e a taxa de variação de uma função pode ser interpretada a partir da sua derivada.
Então vamos adaptar a fórmula da área do quadrado para o nosso caso, calcular sua derivada e obter as respostas que o problema pediu!
Bora lá!
Passo 2
Vamos imaginar que você é o engenheiro de uma companhia que produz chips de computador a partir de placas quadradas de silício. Queremos produzir um chip com o comprimento muito próximo de mas a gente também quer saber como a área total varia com . Pra isso fazemos:
Derivando:
Como bons engenheiros que somos, devemos entender o significado do que a gente calcula! Acima temos uma reta com inclinação positiva igual a .
Isso significa que quanto maior for o comprimento do lado do chip, maior será a sua área e esse crescimento acontece de forma linear!
Devemos também encontrar :
E esse valor representa a taxa em que a área está aumentando em relação ao comprimento do lado quando atinge .
Tranquilo até aqui?
Passo 3
Para a letra (b) devemos mostrar que a taxa de variação da área de um quadrado em relação ao é a metade de seu perímetro.
O perímetro é calculado pela soma dos lados, então para um quadrado:
A taxa de variação é:
Tá provado! Mas o que isso significa?
Vamos desenhar um esqueminha pra entender melhor:
Se calcularmos a variação da área (), teremos que:
Se for pequeno, teremos que , daí:
Então:
Esse é o mesmo resultado que encontramos lá em cima! Na prática significa que pra cada unidade de comprimento do chip temos o dobro em área!
E fim! O que achou? Responde Aí!
Resposta
- Ver o desenvolvimento.