A função abaixo satisfaz as hipóteses do teorema do valor médio no intervalo dado? Justifique suas respostas.

f(x) = { x^2 - x, -2 ≤ x ≤ -1; 2x^2 - 3x - 3, -1 < x ≤ 0 }

Passo 1

Para que uma função satisfaça as hipóteses do teorema do valor médio, é necessário que:

Seja contínua em todos os pontos do intervalo.

Seja derivável em todos os pontos de seu interior.

Passo 2

Derivando a função, temos:

f ' x = 2 x - 1 ,       - 2 ≤ x ≤ - 1 4 x - 3 ,       - 1 < x ≤ 0

Passo 3

Analisando a derivada da função no ponto em que o intervalo muda a função ( x = - 1 )

Analisando pela esquerda: lim x → - 1 - ⁡ 2 x - 1 = - 3

Pela direita: lim x → - 1 + ⁡ 4 x - 3 = - 7

Como os limites da derivada são diferentes entre si, a função não é diferenciável em x = - 1 .

Resposta

O teorema do valor médio não se aplica pois a função não é derivável em x = - 1 .

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