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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.5 - Ex. 72

Calcule a integral

int (ln ( x + 1 ))/(x^2) d x

Passo 1

Bom galera, nesse exercício iremos utilizar as técnicas de integração estudadas e as estratégias abordadas nesse capítulo para resolver a integral. Dessa forma, queremos encontrar o resultado para a integral da maneira mais prática de acordo com as técnicas de integração deste capítulo.

Passo 2

Utilizando a técnica de integração por partes, temos

{[[f = ln ( x + 1 )],[f^' = (1)/(x + 1)]]) {[[g^' = (1)/(x^2)],[g = - (1)/(x)]])

int (ln ( x + 1 ))/(x^2) d x = g = - (1)/(x) ln ( x + 1 ) + int (d x)/(x (x + 1)) = - (1)/(x) ln ( x + 1 ) + int [(1)/(x) - (1)/(x + 1)] d x

Passo 3

Resolvendo a integral que sobrou, temos

- (1)/(x) ln ( x + 1 ) + int [(1)/(x) - (1)/(x + 1)] d x = - (1)/(x) ln ( x + 1 ) + ln |x| - ln |x + 1| + C

Resposta

int (ln ( x + 1 ))/(x^2) d x = - (1)/(x) ln ( x + 1 ) + ln |x| - ln |x + 1| + C

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