A função abaixo satisfaz as hipóteses do teorema do valor médio no intervalo dado? Justifique suas respostas.

f(x) = x^(4/5), [0, 1]

Passo 1

Para que uma função satisfaça as hipóteses do teorema do valor médio, é necessário que:

Seja contínua em todos os pontos do intervalo.

Seja derivável em todos os pontos de seu interior.

Passo 2

Derivando a equação, teremos:

f ' x = 4 5 x - 1 5  

Analisando a equação, definimos o seu domínio como:

x ∈ R x ≠ 0

Quando analisamos a derivada da função, consideramos o intervalo dado como aberto ]a,b[, pois a função precisa ser derivável somente no INTERIOR da função. Os extremos não são considerados.

Resposta

A função é contínua e derivável em todos os pontos do intervalo. Logo, atende o teorema do valor médio.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Seja f(x) = tan(x) .(a) Mostre que não há num intervalo (0, pi) um ponto c tal que f'(c) = 0 , embora f(0) = f(pi) = 0 .(b) Explique por que o resultado de (a) não viola o Teorema de Rolle.
Sejam f(x) = x^(2/3) , a = -1 e b = 8 .(a) Mostre que não há num intervalo (a, b) um ponto c tal quef'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a) (b) Explique por que o resultado de (a) não viola o Teorema do Valor
Às 11h da manhã, a temperatura externa era de 76 °F ℉. Às 11h da noite, havia caído para 52°F ℉.(a) Mostre que, em algum instante durante esse período, a temperatura estava decrescendo a uma taxa de 2
Use o Teorema do Valor Médio para provar o resultado seguinte: O gráfico de uma função f tem uma reta tangente vertical em (x0, f(x0)) se f é contínua em x₀ e f'(x) tende a + infinito ou a- ∞ quando x
Use o Teorema do Valor Médio para provar o resultado seguinte: Seja f uma função continua em x 0 e suponha que exista lim x → x 0 ⁡ f ' ( x ) . Então f é diferenciável em x 0 e f ' x 0 = lim x → x 0 ⁡