Quão próxima é a aproximação sen x = x quando |x| < 10^(-3) ? Para quais desses valores de x, é x < sen x ?

Passo 1

Fala pessoal! Tudo bom? Então vamos lá pra mais uma questão de Séries de Taylor!

Se

sen ⁡ x = x

E também

x < 10 - 3

Passo 2

O teorema do resto das séries alternadas de Taylor diz que “Se a série alternada satisfaz as três condições de convergência, então para se aproxima da soma da série com um erro cujo valor absoluto é menor que, que o valor numérico do primeiro termo a não ser utilizado.”.

Portanto, podemos aceitar que o erro é menor que:

e r r o < 10 - 3 3 3 !

Ou seja:

e r r o < 1,67 * 10 - 10

Passo 3

O teorema do resto das séries alternadas de Taylor diz que R 2 x tem o mesmo sinal que - x 3 3 ! .

Ademais, com x < s e n   x , temos que:

0 < s e n   x - x

Mas também:

s e n   x - x = R 2 x

Logo:

x < 0

Portanto, temos o seguinte intervalo:

- 10 - 3 < x < 0

Resposta

e r r o < 1,67 * 10 - 10

- 10 - 3 < x < 0

Valeu galera! Nos vemos na próxima questão!