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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.1 - Ex. 41

Questão: 41

A densidade linear de uma barra num ponto a x m de um extremo é 2 e - x kg/m. Se a barra tiver 6 m de comprimento, ache a massa e o centro de massa da barra.

Passo 1

Entendendo o problema

  1. Se você tiver dificuldade para solucionar esse problema não se preocupe pois teoria posteriores a calculo 1, geralmente abordados em física 1 e isostática. Mas vamos lá, leia a revolução olhando o desenho ao lado,

  2. Sabemos que a densidade linear é a massa por comprimento certo? Ou seja d L =   M   L     mas para um ponto infinitesimal, sera d L =   M   L     , certo? mas o enunciado fala que d L   = 2 e - x   , então ;

Passo 2

2   e - x =   d M d x     →       d M   =   2   e - x   d x     →     M   =   ∫ 0 6 2   e - x   d x     ,   não é mesmo? Onde M é a massa, integrando;

M = -   2   e - x | 6 0 → M = -2 ( e - 6   e 0 )

M = 2 - 2 e 6

Agora, para encontrar de inercia é preciso saber uma formula que é;

      C   =   1 M   ∫ X .   d L   d x     , onde d L   =   2   e - x , C, é o centro da massa; agora substituindo;

        C   =   1 M   ∫ x . 2 e - x   d x   , integrando, temos ∫ x . 2 e - x   d x , usando integração por partes, certo? Vamos lá.

Passo 3

2 ∫ x e - x   d x

Seja f(x) = 2x derivando f’(x) = 2

g’(x) = e - x integrando g(x) = - e - x

Logo:

∫ 2 x e - x   d x = - 2x. e - x + 2 ∫ e - x   d x

∫ 2 x e - x   d x = - 2x. e - x – 2.   e - x

=   -   2 . e - x   (   x   +   1   )

Aplicando os intervalos;

∫ 0 6 2 x e - x   d x = = - 2. e - x (x+1) | 6 0

=- 2. e - 6 (7) – ( - 2. e - 0 (1)

= -14 e - 6 + 2 e 0

=(2 - 14 e 6 )

Logo;

C = 1 M ∫ 0 6 2 x e - x   d x = 1 2   -   14 e 6 (2 - 14 e 6 )

C = 2 e 6 - 14 e 6 ( e 6 2 e 6 - 2 )

    =   e 6 - 7 e 6 - 1   .

Resposta

= ( e 6 - 7 e 6 - 1 ).

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