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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.7 - Ex. 46

Use a substituição dessa secção, z = tan ⁡ 1 2 x para mostrar que ∫ s e n   x   d x = - cos ⁡ x + C .

Passo 1

Eu sei que você sabe que a primitiva do seno é menos cosseno, mas não vale escrever só isso e falar que fez a questão!!!

O que ela pede é que use a transformação z = tan ⁡ 1 2 x ensinada no livro para provar isso! Quando fazemos essa transformação de variáveis, temos que

s e n   x = 2 z 1 + z 2

cos ⁡ x = 1 - z 2 1 + z 2

d x = 2 1 + z 2   d z

*Essas expressões são deduzidas no livro e apresentadas no teorema 9.7.1.

Passo 2

Assim,

I = ∫ s e n   x   d x = ∫ 2 z 1 + z 2 ⋅ 2 1 + z 2   d z = 2 ∫ 2 z 1 + z 2 2   d z

Essa integral que sobrou é bem tradicional e resolvida com a substituição t = 1 + z 2 , pois d t = 2 z   d z . Assim,

I = 2 ∫ 1 t 2   d t = - 2 t + C = - 2 1 + z 2 + C

Mas note que

s e n   x = 2 z 1 + z 2 ⇒ s e n   x z = 2 1 + z 2

Portanto,

I = - s e n   x z + C

Passo 3

Precisamos sumir com o z , então vamos trocá-lo por tan ⁡ 1 2 x :

I = - s e n   x tan ⁡ 1 2 x + C

Lembrando que s e n   2 θ = 2   s e n   θ cos ⁡ θ , temos que s e n   x = 2   s e n x 2 cos ⁡ x 2 :

I = - 2   s e n x 2 cos ⁡ x 2 s e n x 2 cos ⁡ x 2 + C = C - 2 cos 2 ⁡ x 2

Por outro lado, cos ⁡ 2 θ = 2 cos 2 ⁡ θ - 1 ⇒ 2 cos 2 ⁡ x 2 = 1 + cos ⁡ x . Portanto,

I = C - 1 - cos ⁡ x

O - 1 pode ser incorporado na constante, de modo que

I = - cos ⁡ x + C

que é exatamente o que queríamos mostrar!

Resposta

Demonstração.

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