Mostre que , usando uma substituição trigonométrica para calcular .
Passo 1
Nesta seção do livro é mostrado (teorema 9.8.1) que
A questão pede para calcularmos a integral usando uma substituição trigonométrica para provar que
Assim provamos uma fórmula para a inversa do seno hiperbólico:
Bom, para calcular essa integral você precisa lembrar de uma relação trigonométrica:
Passo 2
Assim, vamos fazer a substituição :
Além disso,
Portanto,
Mas sabemos que a primitiva da secante é , de modo que
Passo 3
Agora precisamos voltar para a variável . Sabemos que , logo
Portanto,
Todavia, mesmo que , , de modo que . Assim, podemos tirar o módulo:
Por fim, como essa integral também é igual a , temos que
Essa é a relação que queríamos mostrar!
Resposta
Demonstração.