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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.8 - Ex. 26

Mostre que s e n h - 1   u = ln ⁡ u + u 2 + 1 , usando uma substituição trigonométrica para calcular ∫ d u u 2 + 1 .

Passo 1

Nesta seção do livro é mostrado (teorema 9.8.1) que

∫ 1 u 2 + 1   d u = s e n h - 1   u + C

A questão pede para calcularmos a integral usando uma substituição trigonométrica para provar que

∫ 1 u 2 + 1   d u = ln ⁡ u + u 2 + 1 + C

Assim provamos uma fórmula para a inversa do seno hiperbólico:

s e n h - 1   u = ln ⁡ u + u 2 + 1

Bom, para calcular essa integral você precisa lembrar de uma relação trigonométrica:

1 + tan 2 ⁡ t = sec 2 ⁡ t

Passo 2

Assim, vamos fazer a substituição u = tan ⁡ t :

1 + u 2 = 1 + tan 2 ⁡ t = sec 2 ⁡ t = sec ⁡ t

Além disso,

d u = sec 2 ⁡ t   d t

Portanto,

I = ∫ 1 1 + u 2   d u = ∫ sec 2 ⁡ t sec ⁡ t   d t = ∫ sec ⁡ t   d t

Mas sabemos que a primitiva da secante é ln ⁡ | sec ⁡ t + tan ⁡ t | , de modo que

I = ln ⁡ sec ⁡ t + tan ⁡ t + C

Passo 3

Agora precisamos voltar para a variável u . Sabemos que u = tan ⁡ t , logo

1 + tan 2 ⁡ t = sec 2 ⁡ t ⇒ sec ⁡ t = 1 + u 2

Portanto,

I = ∫ 1 1 + u 2   d u = ln ⁡ u + 1 + u 2 + C

Todavia, mesmo que u < 0 , 1 + u 2 > - u , de modo que u + 1 + u 2 > 0 . Assim, podemos tirar o módulo:

∫ 1 1 + u 2   d u = ln ⁡ u + 1 + u 2 + C

Por fim, como essa integral também é igual a s e n h - 1   u + C , temos que

s e n h - 1   u = ln ⁡ u + 1 + u 2

Essa é a relação que queríamos mostrar!

Resposta

Demonstração.

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