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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 1.3 - Ex. 12

Em cada um dos problemas de 7 a 14, verifique se cada função dada é solução da equação diferencial .

t 2 y ' ' + 5 t y ' + 4 y = 0 ,       t > 0       ,     y 1 t = t - 2 ,     y 2 t = t - 2 ln ⁡ t

Passo 1

Para resolvermos esse tipo de questão basta derivarmos as possíveis soluções de acordo com a ordem da edo e depois substituir na equação para ver se é de fato uma solução

Para y 1 t = t - 2 :

y ' 1 t = - 2 t - 3

y ' ' 1 t = 6 t - 4

Substituindo em t 2 y ' ' + 5 t y ' + 4 y = 0 ,   temos :

t 2 6 t - 4 + 5 t - 2 t - 3 + 4 t - 2 = 6 t - 2 - 10 t - 2 + 4 t - 2 = 0

Portanto é solução

Para y 2 t = t - 2 ln ⁡ t  

y ' 2 t = - 2 t - 3 ln ⁡ t +   t - 3

y ' ' 2 t = 6 ln ⁡ t - 5 t 4

Substituindo em t 2 y ' ' + 5 t y ' + 4 y = 0 ,   temos :

t 2 6 ln ⁡ t - 5 t 4 + 5 t ( - 2 t - 3 ln ⁡ t +   t - 3 ) + 4 t - 2 ln ⁡ t   = 0  

Portanto,é solução

Resposta

Ambas são soluções

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