Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.5 - Ex. 23

Um recipiente com a forma de um paralelepípedo com base quadrada deve ter um volume de . O custo da base e da tampa é o dobro do custo dos lados. Encontre as dimensões do recipiente de menor custo.

Passo 1

Vamos escrever a expressão para o volume do paralelepípedo, considerando o lado da base quadrada como e a altura como . Temos:

Vamos agora determinar uma expressão para o custo de confecção do paralelepípedo.

Vamos pensar: precisamos de uma base, uma tampa (que são exatamente iguais) e as 4 laterais, todas iguais entre si. Uma ilustração pode ajudar:

A base e a tampa, que são iguais, tem áreas equivalentes a . Como é uma base e uma tampa, temos o custo duplicado, que será:

onde é o custo do centímetro quadrado do material.

Os 4 lados, que são retangulares, de área , vão ter um custo que é a metade do custo da base (e da tampa):

A expressão pro custo total do paralelepípedo pode ser escrita pela soma dessas expressões, que vai ser:

Passo 2

Temos uma expressão pro custo que depende de duas variáveis, e . Podemos fazer ela depender só de uma, como , pela expressão do volume . Isolamos e temos:

Agora, substituímos essa sentença na expressão do custo, pra termos um :

Passo 3

Como precisamos determinar o menor custo possível e já temos uma função pro custo, vamos derivá-la, igualar a derivada a zero e determinar assim os pontos críticos, que são pontos de máximo ou de mínimo da função.

No caso, nos interessa o ponto de mínimo. O valor de associado ao ponto de mínimo vai equivaler ao comprimento da base (e da tampa) do paralelepípedo de menor custo possível.

Derivando, (lembrando que , o custo, é uma constante) temos: