Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.8 - Ex. 72
Estime o valor numérico de escrevendo a integral como uma soma de e . Aproxime a primeira integral usando a Regra de Simpson com e mostre que a segunda integral é menor que , que é menor que .
Passo 1
Nessa questão, precisamos primeiro separar a integral em duas. Vamos calcular uma delas pelo método de Simpson e a outra vamos usar o teorema da comparação para mostrar que ela converge e que é muito pequena.
Separando as integrais, temos que
Passo 2
Vamos calcular primeira integral usando a regra de Simpson com . Assim, devemos ter
onde .
Portanto,
onde . Fazendo essa conta, obtemos
Passo 3
Agora vamos olhar para segunda integral: . Nós sabemos que para , segue que (apenas multipliquei ambos os lados por . Assim, . Como a exponencial é crescente e positiva:
Por outro lado, sabemos que a integral converge e é menor que (o enunciado informou). Assim,
Logo, vemos que a integral de até infinito é desprezível em comparação com a integral de até . Portanto, podemos estimar que