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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.8 - Ex. 72

Estime o valor numérico de ∫ 0 ∞ e - x 2 d x escrevendo a integral como uma soma de ∫ 0 4 e - x 2 d x e ∫ 4 ∞ e - x 2 d x . Aproxime a primeira integral usando a Regra de Simpson com n = 8 e mostre que a segunda integral é menor que ∫ 4 ∞ e - 4 x d x , que é menor que 0,0000001 .

Passo 1

Nessa questão, precisamos primeiro separar a integral em duas. Vamos calcular uma delas pelo método de Simpson e a outra vamos usar o teorema da comparação para mostrar que ela converge e que é muito pequena.

Separando as integrais, temos que

∫ 0 ∞ e - x 2 d x = ∫ 0 4 e - x 2 d x + ∫ 4 ∞ e - x 2 d x

Passo 2

Vamos calcular primeira integral usando a regra de Simpson com n = 8 . Assim, devemos ter

∫ 0 4 e - x 2 d x ≈ Δ x 3 f x 0 + 4 f x 1 + 2 f x 2 + … + 2 f x 6 + 4 f x 7 + f x 8

onde Δ x = 4 8 = 1 2 .

Portanto,

∫ 0 4 e - x 2 d x ≈ 1 6 f 0 + 4 f 1 2 + 2 f 1 + … + 2 f 3 + 4 f 7 2 + f 4

onde f x = e - x 2 . Fazendo essa conta, obtemos

∫ 0 4 e - x 2 d x ≈ 0,886196

Passo 3

Agora vamos olhar para segunda integral: ∫ 4 ∞ e - x 2 d x . Nós sabemos que para x ≥ 4 , segue que x 2 ≥ 4 x (apenas multipliquei ambos os lados por x . Assim, - x 2 ≤ - 4 x . Como a exponencial é crescente e positiva:

- x 2 ≤ - 4 x ⇒ e - x 2 ≤ e - 4 x ⇒ ∫ 4 ∞ e - x 2 d x ≤ ∫ 4 ∞ e - 4 x d x

Por outro lado, sabemos que a integral ∫ 4 ∞ e - 4 x d x converge e é menor que 0,0000001 (o enunciado informou). Assim,

∫ 4 ∞ e - x 2 d x ≤ ∫ 4 ∞ e - 4 x d x < 0,0000001 ⇒ ∫ 4 ∞ e - x 2 d x < 0,0000001

Logo, vemos que a integral de 4 até infinito é desprezível em comparação com a integral de 0 até 4 . Portanto, podemos estimar que

∫ 0 ∞ e - x 2 d x ≈ ∫ 0 4 e - x 2 d x ≈ 0,886196

Resposta

0,886196

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