(Regra da Cadeia). Sejam , , funções deriváveis, onde e são intervalos em . Suponha que, para todo , . Prove que a função dada por , é derivável e que

Onde deve ser calculado em .

Temos então uma função que recebe valores reais e retorna valores reais, e uma função que recebe valores reais e retorna vetores no . Então vamos assumir

Se aplicarmos de entrada em temos e cada coordenada tem a cara

Derivando então coordenada por coordenada chegamos em

Pela regra da cadeia em funções . Temos então

A derivada de é um escalar, então podemos colocar em evidencia e ficamos com

E o que sobrou em parênteses é a derivada de em relação a , então