(Regra da Cadeia). Sejam t → u t ,t ∈ I , u → F → u ∈ R n ,u ∈ J , funções deriváveis, onde I e J são intervalos em R . Suponha que, para todo t ∈ I , u t ∈ J . Prove que a função H → dada por H → t = F → u t , t ∈ I , é derivável e que d H → d t = d F → d u d u d t Onde d F → d u deve ser calculado em u = u t .

Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.5 - Ex. 13

(Regra da Cadeia). Sejam , , funções deriváveis, onde e são intervalos em . Suponha que, para todo , . Prove que a função dada por , é derivável e que

Onde deve ser calculado em .

Passo 1

Temos então uma função que recebe valores reais e retorna valores reais, e uma função que recebe valores reais e retorna vetores no . Então vamos assumir

Se aplicarmos de entrada em temos e cada coordenada tem a cara

Derivando então coordenada por coordenada chegamos em

Pela regra da cadeia em funções . Temos então

A derivada de é um escalar, então podemos colocar em evidencia e ficamos com

E o que sobrou em parênteses é a derivada de em relação a , então

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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