Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 13.3 - Ex. 16
Reparametrize a curva
Em relação ao comprimento do arco medido a partir do ponto (1, 0) na direção crescente de . Expresse a reparametrização em sua forma mais simples. O que você pode concluir sobre a curva?
Passo 1
Olá, meu amigo. Vou te ajudar a resolver essa atividade.
A gente tem a curva parametrizada:
E precisamos criar uma parametrização que seja em função do comprimento dessa curva, medida do ponto a direção crescente de .
Então basicamente queremos reescrever agora nossa função em:
Sabe-se que o comprimento de uma curva é dada por:
Então vamos inicialmente resolver essa integral, e depois iremos reparametrizar.
Passo 2
Muita atenção porque esse exercício é trabalhoso! O primeiro passo é calcular a derivada da curva dada.
Temos que utilizar a regra do quociente aqui:
Temos:
Agora podemos obter o módulo da derivada:
Realizando o produto notável:
Simplificando o numerador:
Transformando o numerador em produto notável:
Simplificando o numerador com o denominador:
Retirando a raiz:
Passo 3
No ponto inicial (1, 0) temos . A função comprimento de arco é dada por:
Retirando a constante:
Essa integral é tabelada:
Passo 4
Partindo do passo anterior podemos obter uma expressão de . Temos:
Passo 5
Substituindo na equação vetorial original da curva, obtemos:
Das identidades trigonométricas sabemos que . Assim, temos
Colocando que :
Simplificando:
Das identidades trigonométricas temos que e que
. Utilizando essas identidades na equação teremos:
Da equação acima, notamos que a curva representa um círculo de raio unitário. Contudo, sabemos que , para inteiro, não é definida no conjunto dos reais.
Assim, como , temos que
Por isso, concluímos que a curva não inclui o ponto (-1 0), já que para
.