Enunciado

Reparametrize a curva

r t = 2 t 2 + 1 - 1 i + 2 t t 2 + 1 j

Em relação ao comprimento do arco medido a partir do ponto (1, 0) na direção crescente de t . Expresse a reparametrização em sua forma mais simples. O que você pode concluir sobre a curva?

Passo 1

Olá, meu amigo. Vou te ajudar a resolver essa atividade.

A gente tem a curva parametrizada:

r t = 2 t 2 + 1 - 1 i + 2 t t 2 + 1 j

E precisamos criar uma parametrização que seja em função do comprimento dessa curva, medida do ponto 0,1 a direção crescente de t .

Então basicamente queremos reescrever agora nossa função em:

r s

Sabe-se que o comprimento s de uma curva é dada por:

s = ∫ b a r ' t d t

Então vamos inicialmente resolver essa integral, e depois iremos reparametrizar.

Passo 2

Muita atenção porque esse exercício é trabalhoso! O primeiro passo é calcular a derivada r ' ( t ) da curva dada.

Temos que utilizar a regra do quociente aqui:

f g ' = f ' g - f g ' g 2

Temos:

r ' t = - 4 t t 2 + 1 2   i + - 2 t 2 + 2 t 2 + 1 2   j

Agora podemos obter o módulo da derivada:

r ' t = - 4 t t 2 + 1 2 2 + - 2 t 2 + 2 t 2 + 1 2 2

Realizando o produto notável:

r ' t = 16 t 2 + 4 t 4 - 8 t 2 + 4 t 2 + 1 4

Simplificando o numerador:

r ' t = 4 t 4 + 8 t 2 + 4 t 2 + 1 4

Transformando o numerador em produto notável:

r ' t = 4 t 2 + 1 2 t 2 + 1 4

Simplificando o numerador com o denominador:

r ' t = 4 t 2 + 1 2

Retirando a raiz:

r ' t = 2 t 2 + 1

Passo 3

No ponto inicial (1, 0) temos t = 0 . A função comprimento de arco é dada por:

s t = ∫ 0 t | r ' t | d t

s ( t ) = ∫ 0 t 2 t 2 + 1   d t

Retirando a constante:

s ( t ) = 2 ∫ 0 t 1 t 2 + 1   d t

Essa integral é tabelada:

s t = 2   arctan ⁡ t 0 t

s t = 2 arctan ⁡ t

Passo 4

Partindo do passo anterior podemos obter uma expressão de t ( s ) . Temos:

s = 2 arctan ⁡ t

arctan ⁡ t = s 2

t = tan ⁡ s 2

Passo 5

Substituindo t na equação vetorial original da curva, obtemos:

r t ( s ) = 2 t g 2 ( s 2 ) + 1 - 1 i + 2 t g s 2 t g 2 ( s 2 ) + 1 j

Das identidades trigonométricas sabemos que sec 2 ⁡ x = 1 + t g 2 x . Assim, temos

r t ( s ) = 1 - t g 2 s 2 sec 2 ⁡ s 2 i + 2 t g s 2 sec 2 ⁡ s 2 j

r t ( s ) = cos 2 ⁡ s 2 [ 1 - t g 2 s 2 ] i + 2 t g s 2 c o s 2 s 2 j

Colocando que tan ⁡ x = sin ⁡ x cos ⁡ x :

r t ( s ) = cos 2 ⁡ s 2 1 - s e n 2 s 2 c o s 2 s 2 i + 2 s e n ( s 2 ) cos ⁡ ( s 2 )   c o s 2 s 2 j

Simplificando:

r t ( s ) = cos 2 ⁡ s 2 -   s e n 2 s 2 i + 2 s e n s 2 cos ⁡ s 2 j

Das identidades trigonométricas temos que cos ⁡ 2 x = cos 2 ⁡ x - s e n 2 x e que

s e n 2 x = 2 s e n   x cos ⁡ x . Utilizando essas identidades na equação teremos:

r t ( s ) = cos ⁡ s   i + s e n   s   j

Da equação acima, notamos que a curva r ( t s ) representa um círculo de raio unitário. Contudo, sabemos que t g ( π 2 + k π ) , para k inteiro, não é definida no conjunto dos reais.

Assim, como t = t g s 2 , temos que s 2 ≠ π 2 + k π

s ≠ π + 2 k π

Por isso, concluímos que a curva não inclui o ponto (-1 0), já que cos ⁡ s = - 1 para

s =   π + 2 k π .

Resposta

r s = cos ⁡ s   i + s e n   s   j ,               s ≠   π + 2 k π        

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