Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 13.3 - Ex. 15
Suponha que você comece no ponto (0, 0, 3) e se mova 5 unidades ao longo da curva
, , na direção positiva. Onde você está agora?
Passo 1
Olá pessoal! De boas?
Essa questão pede para determinar onde estamos depois de mover 5 unidades ao longo da curva, precisamos calcular o comprimento do arco até o ponto onde a distância percorrida ao longo da curva seja 5 unidades.
Para resolver a questão podemos seguir os passos
- Calcular as derivadas , e
- Calculamos o módulo da derivada
- Utilizamos a equação do comprimento do arco
- Substituimos o valor da posição mencionada no enunciado , para obtermos o valor do tempo .
Bora finalizar isso!
Passo 2
A forma vetorial da curva dada é
O primeiro passa desse exercício é calcular a derivada da curva dada. Temos:
Derivando individualmente
temos
Passo 3
Agora podemos obter o módulo da derivada:
Resolvendo os termos ao quadrado
Colocando em evidência e utilizando a relação trigonométrica
Passo 4
O ponto inicial da curva (0, 0, 3) corresponde a . Assim a função comprimento de arco é dada por
Passo 5
No enunciado nos é pedido o ponto para o qual temos . Logo, utilizando a função comprimento de arco obtida no passo anterior, temos:
Agora basta substituir na equação vetorial da curva para obter o ponto, ou seja, a posição.