Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 13.3 - Ex. 11
Seja a curva de intersecção do cilindro parabólico e da superfície . Encontre o comprimento exato de da origem até o ponto .
Passo 1
Opa, tudo tranquilo? A questão diz pra gente que uma curva é dada pela intersecção do cilindro parabólico com a superfície e nos pede para encontrar o comprimento dessa curva de até !
Mas como fazemos isso?
Primeiro precisamos definir a expressão dessa curva , ou nesse caso sua parametrização! Depois é só aplicar na fórmula do comprimento de arco e teremos nossa resposta!
Seja então a curva dada pela equação paramétrica , temos então que o seu comprimento de até é dado por
Passo 2
Precisamos primeiro encontrar que descreva a curva!
Pelo enunciado, sabemos que a projeção da curva sobre o plano é a curva ou com .
Assim podemos adotar como parâmetro . Assim as componentes e serão:
A equação vetorial da curva é dada então por
A origem corresponde ao ponto , ou seja, para !
Já o ponto final corresponde ao parâmetro .
Então já temos nosso intervalo de integração!
Passo 3
O próximo passo é obter . Assim, derivando cada componente de em , temos
Obtida a derivada da curva, devemos calcular seu módulo:
Ou ainda
De forma que
Passo 4
Substituindo o valor do módulo calculado na fórmula de comprimento de arco, obtemos:
Então o comprimento buscado será