Reparametrize a curva com relação ao comprimento de arco medido a partir do ponto onde t = 0 na direção crescente de t .

r t = 2 t   i + 1 - 3 t j + 5 + 4 t k

Passo 1

Ei, galerinha. Vamos reparametrizar a curva pelo comprimento de arco!

Primeiro, encontre a velocidade v ( t ) derivando r ( t ) . Depois, calcule a magnitude ∥ v ( t ) ∥ e integrar, vamos substituir o valor de t e substituir na curva original r ( t ) . Pronto, agora temos r ( s ) !

Fácil, né?

Passo 2

O primeiro passo desse exercício é calcular a derivada r ' ( t ) da curva dada. Temos:

r t = 2 t   i + 1 - 3 t j + 5 + 4 t k

Primeira parte

d d t 2 t   i = 2 i

Segunda parte

d d t 1 - 3 t j = - 3   j

Terceira parte

d d t 5 + 4 t k = 4   k

Resultando em

r ' t = 2   i - 3 j + 4 k

Passo 3

Agora podemos obter o módulo da derivada:

r ' t = 2 2 + - 3 2 + 4 2

r ' t = 4 + 9 + 16

r ' t = 29

Passo 4

A função comprimento de arco é dada por

s t = ∫ 0 t | r ' t | d t

s ( t ) = ∫ 0 t 29 d t

s t = 29   t

Passo 5

Do Passo 2, isolando t , obtemos:

t = s 29

Substituindo t na equação vetorial original da curva, obtemos:

r t s = 2 s 29 i + 1 - 3 s 29 j + 5 + 4 s 29 k

r s = 2 s 29 i + 1 - 3 29 s j + 5 + 4 29 s k

Resposta

r s = 2 s 29 i + 1 - 3 29 s j + 5 + 4 29 s k

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