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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.4 - Ex. 10

Represente graficamente a equação seguindo os passos do procedimento para construção de gráficos da página 237. Inclua as coordenadas de quaisquer pontos extremos e absolutos locais e pontos de inflexão.

y = 6 - 2 x - x 2

Passo 1

Primeiramente, vemos que a função é um polinômio, logo seu domínio é R .

Vamos calcular a derivada primeira e segunda da função:

y ' = - 2 x - 2

y ' ' = - 2

Passo 2

Vamos encontrar os pontos críticos agora, que são onde a derivada é zero.

y ' = - 2 x - 2 = 0 → x = - 1  

E pelo teste da derivada segunda, y ' ' - 1 = - 2 < 0 , temos um ponto máximo em - 1 ,   y - 1 = ( - 1,7 ) .

Passo 3

Vamos agora ver os intervalos de crescimento da função. O único ponto crítico é em x = - 1 , e olha só:

y ' =   - 2 x - 2 > 0 → - 2 x > 2 → x < - 1

Então, a função é crescente antes de x =   - 1 e decrescente depois de x = - 1 .

E a concavidade? Nossa derivada deu y ' ' = - 2 né? Logo, ela é sempre negativa, ou seja, a concavidade é sempre para baixo, e não temos pontos de inflexão.

Passo 4

Como nossa função não tem nenhuma restrição, nosso gráfico não tem assíntotas.

Vamos ver então em quais pontos a função intercepta os eixos...

  • Eixo x:   6 - 2 x - x 2 = 0

    • Resolvendo a equação do segundo grau encontramos: x = - 1 - 7 ≅ - 3,6   e   x = - 1 + 7 ≅ 1,6 . Então temos os pontos:   - 1 - 7 , 0 e   - 1 + 7 , 0 .

  • Eixo y: x → 0 = 6 - 2 0 - 0 2 = 6

Então temos o ponto (0,6).

Juntando as informações agora, construímos o gráfico:

Passo 5

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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