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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.4 - Ex. 53

Represente graficamente as equações dos Exercícios 9-58 seguindo os passos do procedimento para construção de gráficos da página 237. Inclua as coordenadas de quaisquer pontos extremos e absolutos locais e pontos de inflexão.

53-

y = e x - 2 e - x - 3 x

Passo 1

Fazendo a primeira derivada dessa função temos:

y ' = e x + 2 e - x - 3

Agora fazendo a segunda derivada temos:

y ' ' = e x - 2 e - x

A função não apresenta restrições, logo não tem assíntotas verticais

Passo 2

Vendo os pontos críticos por análise de y ' = 0 temos:

e x + 2 e - x - 3 = 0

Se multiplicarmos na direita e a na esquerda por e x temos:

e 2 x - 3 e x + 2 = 0

Chamando e x de z temos:

z 2 - 3 z + 2 = 0

Temos valores de z de:

z = 2 ; z = 1

Só que z é igual a e x , logo x = l n ⁡ ( z )

x = ln ⁡ 1 = 0 ;                         x = l n ⁡ ( 2 )

Passo 3

Testar os valores encontrados no passo anterior e ver se tem pontos de inflexão.

Para x = 0

y ' ' 0 = e 0 - 2 e - 0 = - 1 → n e g a t i v o

x = 0 é um ponto de máximo local

Agora para x = l n ⁡ ( 2 )

y ' ' ln ⁡ 2 = e ln ⁡ 2 - 2 e - ln ⁡ 2 = 2 + 4 = 6 → p o s i t i v o

Logo x = ln ⁡ 2 é um ponto de mínimo local

Agora para ver se tem pontos de inflexão:

e x - 2 e - x = 0

e x = 2 e - x

e 2 x = 2  

e x = 2

x = ln ⁡ 2

Passo 4

Testando os limites de nossa função que vão de ± ∞

lim x → + ∞ ⁡ e x - 2 e - x - 3 x = ∞ - 0 - ∞ = + ∞

Agora para - ∞

lim x → - ∞ ⁡ e x - 2 e - x - 3 x = 0 - ∞ - ∞ = - ∞

Passo 5

Pontos de teste: -1 0.1 0.5 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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