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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.4 - Ex. 33

Represente graficamente a equação seguindo os passos do procedimento para construção de gráficos da página 237. Inclua as coordenadas de quaisquer pontos extremos e absolutos locais e pontos de inflexão.

y = 2 x - 3 x 2 3

Passo 1

Primeiramente, vemos que a função é um polinômio com uma exponencial, logo seu domínio é R .

Vamos calcular a derivada primeira e segunda da função:

y ' = 2 - 2 x - 1 3 = 2 - 2 x 1 3

y ' ' = 2 3 x - 4 3 = 2 3 x 4 3

Passo 2

Vamos encontrar os pontos críticos agora, que são onde a derivada é zero.

y ' =   2 - 2 x 1 3 = 0 → 2 = 2 x - 1 3 = x - 1 3 = 1 → x = 1  

E pelo teste da derivada segunda, temos: y ' ' 1 = 2 3 > 0 , como deu positiva, temos um ponto mínimo em ( 1 ,   - 1 )

Passo 3

Vamos agora ver os intervalos de crescimento da função. Observe que x = 0 não pertence ao domínio, pois o denominador da fração não pode zerar. Vamos usar o ponto anterior para ver os intervalos onde a derivada é positiva ou negativa.

y ' = 2 - 2 x 1 3

Então, a função é crescente em ( - ∞ ,   0 ) e 1 , ∞   e decrescente em ( 0,1 ) .

Vejamos a concavidade...

Nossa derivada segunda deu y ' ' = 2 3 x 4 3 .

A função é exponencial, e o expoente do numerador é par, então: x 4 3 > 0 → ∀ x   ≠ 0 , e como o coeficiente é positivo, a concavidade é sempre para cima. Não temos pontos de inflexão.

Passo 4

Juntando as informações, temos o gráfico:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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