Esboce o gráfico da função racional:y = (x^2 - x + 1)/(x - 1)

Enunciado

Primeiramente, vemos que o domínio da função é (não pode zerar o denominador)

Vamos calcular a derivada primeira e segunda da função pela regra do quociente:

Vamos encontrar os pontos críticos agora, que são onde a derivada é zero.

E pelo teste da derivada segunda, , e .

Então, temos um ponto máximo em e .

Vamos agora ver os intervalos de crescimento da função.

Sabemos que a função resulta em zero quando e e não está definida em .

Vejamos então...

Então, a função é crescente em e e decrescente em (e .

Vejamos a concavidade...

Nossa derivada deu , então vamos analisar o denominador, já que o numerador é um número positivo:

Então, a concavidade é para baixo em e para cima em

A função muda a concavidade em , porém não temos um ponto no local já que ele não pertence ao domínio.

Vamos ter uma assíntota vertical em .

Podemos encontrar ainda os pontos onde a função corta os eixos coordenados:

A função não corta o eixo x, pois a função não possui raízes reais (discriminante negativo)

Juntando as informações, temos o gráfico:

Ei, a resposta está no passo a passo :)