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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.4 - Ex. 25

Represente graficamente a equação seguindo os passos do procedimento para construção de gráficos da página 237. Inclua as coordenadas de quaisquer pontos extremos e absolutos locais e pontos de inflexão.

y = 3 - 2 cos ⁡ x     ,   0 ≤ x ≤ 2 π

Passo 1

Primeiramente, vejamos que o domínio da função está restrito ao intervalo de ( 0 ,   2 π )

Então, vamos calcular a derivada primeira e segunda da função:

y ' = 3 + 2 s e n   x  

y ' ' = 2 cos ⁡ x  

Passo 2

Vamos encontrar os pontos críticos agora, que são onde a derivada é zero.

y ' = 3 + 2 s e n   x   = 0

s e n   x =   - 3 2

x = 4 π 3 e   x = 5 π 3

E pelo teste da derivada segunda, y ' ' 4 π 3 =   - 1 2 < 0 e y ' ' 5 π 3 = 1 2 > 0

Temos então um ponto de máximo em 4 π 3 e um ponto de mínimo em 5 π 3 .

Vamos testar os valores dos extremos na função:

y 0 = - 2

y 2 π = 2 π 3 - 2

Então temos os pontos de mínimo e máximos absolutos nos pontos dos extremos.

Passo 3

Vamos agora ver os intervalos de crescimento da função.

  y ' = 3 - 2 cos ⁡ x

Vamos testar os valores encontrados no passo anterior:

Então, a função é crescente em 0 , 4 π 3 e 5 π 3 ,   2 π e decrescente em 4 π 3 , 5 π 3 . Vejamos a concavidade...

Nossa derivada deu y ' ' = 2 cos ⁡ x   . Veja que:

Então, a concavidade do gráfico será para cima em 0 , π 2 e   3 π 2 ,   2 π e para baixo em π 2   , 3 π 2  

(pelo sinal do cosseno no círculo trigonométrico).

Passo 4

Juntando as informações, temos o gráfico:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva. y = 8 x 2 - x 4
a) Se f x = x / ( x 2 - 1 ) , encontre f ' ( x ) .b) Verifique que se sua resposta da parte (a) é razoável comparando os gráficos f e f ' .
a) Se f x = e x / x 3 , encontre f ' ( x ) .b) Verifique que se sua resposta da parte (a) é razoável comparando os gráficos f e f ' .
a) Se f x = x / ( x 2 + 1 ) , encontre f ' ( x ) e f ' ' ( x ) .b) Verifique que se sua resposta da parte (a) é razoável comparando os gráficos f , f ' e f ' ' .
a) Se f x = x - 1 e x , encontre f ' ( x ) e f ' ' ( x ) .b) Verifique que se sua resposta da parte (a) é razoável comparando os gráficos f , f ' e f ' ' .