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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.4 - Ex. 89

Esboce o gráfico das funções racionais nos Exercícios 85-102.

89-

y = 1 x 2 - 1

Passo 1

Podemos escrever a função da seguinte forma:

y = 1 ( x + 1 ) ( x - 1 )

Aparentemente temos como assíntotas x = 1 ,     x = - 1

Vamos fazer os limites perto das assíntotas e nos infinitos:

Para menos infinito:

lim x → - ∞ ⁡ 1 x 2 - 1   = 1 ∞ = 0

Para mais infinito:

lim x → ∞ ⁡ 1 x 2 - 1   = 1 ∞ = 0

Agora perto de x = - 1

Indo pela esquerda:

lim x → - 1 - ⁡ 1 x - 1 x + 1 = 1 - 2 × 0 - = + ∞

Indo pela direita:

lim x → - 1 + ⁡ 1 x - 1 x + 1 = 1 - 2 × 0 + = - ∞

O que realmente prova a assíntota em x = - 1

Agora perto de x = 1

Indo pela esquerda:

lim x → 1 - ⁡ 1 ( x - 1 ) ( x + 1 ) = 1 0 - × 2 = - ∞

Agora pela direita:

lim x → 1 + ⁡ 1 ( x - 1 ) ( x + 1 ) = 1 0 + × 2 = + ∞

Passo 2

Fazendo a derivada para acharmos os pontos críticos dessa função temos:

y ' = 1 ' x 2 - 1 - 1 ( x 2 - 1 ) ' x 2 - 1 2

y ' = 0 - 2 x x 2 - 1 2

Logo temos um ponto crítico em x = 0

A derivada segunda então nos dá:

y ' ' = - 2 x 2 - 1 2 - 2 x ( 4 x x 2 - 1 ) x 2 - 1 4

y ' ' = + x 2 - 1 × - 2 x 2 - 1 + 8 x 2 x 2 - 1 4

y ' ' = 6 x 2 + 2 x 2 - 1 3

O que não nos dá nenhum ponto real de inflexão, mas nos diz que em x = 0 nós temos:

y ' ' 0 = 2 - 1 3 = - 2 → n e g a t i v o

Logo em x = 0 temos um ponto de máximo local.

Passo 3

Organizando nossos intervalos

Pontos de teste: -2, -0.5, 0.5, 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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