Enunciado

Represente graficamente as equações dos Exercícios 9-58 seguindo os passos do procedimento para construção de gráficos da página 237. Inclua as coordenadas de quaisquer pontos extremos e absolutos locais e pontos de inflexão.

58-

y = e x 1 + e x

Passo 1

Se dividir toda a equação por e x teremos:

y = 1 1 e x + 1 = 1 1 + e - x

O que é a mesma coisa que o exercício 57.

Porém como uma boa prática faremos do mesmo passo-a-passo da última questão.

Fazendo a primeira derivada.

y ' = e x 1 + e x - e x ( e x ) 1 + e x 2 = e x 1 + e x 2

Fazendo agora a derivada segunda:

y ' ' = e x 1 + e x 2 + e x × 2 1 + e x e x 1 + e x 2

y ' ' = e - 2 x ( 1 - e x ) 1 + e - x 3 = e - 2 x - e - x 1 + e - x 3

Passo 2

Assim como na questão anterior, você vê que que o numerador de y ' não será zero nunca então não terá pontos de mínimo e máximo. E como achamos o mesmo y ' ' achamos x = 0 como ponto de inflexão.

Passo 3

Encontrando as assíntotas horizontais da função:

Para x = ∞

lim x → ∞ ⁡ e x 1 + e x = ∞ ∞

Fazendo L’Hopital:

lim x → ∞ ⁡ e x e x = 1

Para x = - ∞

lim x → - ∞ ⁡ e x e x + 1 = 0 1 = 0

Passo 4

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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45-54. Usando a regra de L’Hôspital (Seção 3.6), podemos conferir que: lim x → + ∞ ⁡ e x x = + ∞ ,lim x → + ∞ ⁡ x e x = 0 ,lim x → - ∞ ⁡ x e x = 0 Nestes exercícios:a) Use esses limites, se necessário
45-54. Usando a regra de L’Hôspital (Seção 3.6), podemos conferir que: lim x → + ∞ ⁡ e x x = + ∞ ,lim x → + ∞ ⁡ x e x = 0 ,lim x → - ∞ ⁡ x e x = 0 Nestes exercícios:a) use esses limites, se necessário
45-54. Usando a regra de L’Hôspital (Seção 3.6), podemos conferir que: lim x → + ∞ ⁡ e x x = + ∞ ,lim x → + ∞ ⁡ x e x = 0 ,lim x → - ∞ ⁡ x e x = 0 Nestes exercícios:a) Use esses limites, se necessário
45-54. Usando a regra de L’Hôspital (Seção 3.6), podemos conferir que: lim x → + ∞ ⁡ e x x = + ∞ ,lim x → + ∞ ⁡ x e x = 0 ,lim x → - ∞ ⁡ x e x = 0 Nestes exercícios:a) use esses limites, se necessário
55-60. Usando a regra de L’Hôpital (Seção 3.6), podemos conferir que: lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x x r = 0 ,lim x → + ∞ ⁡ x r ln ⁡ x = + ∞ ,lim x → 0 + ⁡ x r ln ⁡ x = 0 Com qualquer número real positivo r . N