a. Identifique os extremos locais de cada função nos intervalos dados e informe onde eles ocorrem.

b. Na mesma tela, esboce os gráficos da função e de sua derivada. Comente o comportamento de f em relação aos sinais e valores de f' .

f(x) = sec^2(x) - 2tg(x), -π/2 ≤ x ≤ π/2

Passo 1

Vamos começar identificando os pontos críticos da função através da derivada primeira.

f ' x = 2 sec ⁡ x   s e c x   t g x - 2 sec 2 ⁡ x

f ' x = 2 sec 2 ⁡ x t g x - 2 sec 2 ⁡ x

Tranquilo até aqui né?!

Passo 2

Para achar os pontos críticos, vamos igualar a derivada a zero.

f ' x = 2 sec 2 ⁡ x t g x - 2 sec 2 ⁡ x = 0

f ' x = 2 sec 2 ⁡ x t g   x - 1 = 0

Daí temos que:

2 sec 2 ⁡ x = 0   o u   t g   x - 1 = 0  

2 sec 2 ⁡ x = 0 → n ã o   p o d e  

t g   x = 1 → x = π 4

Achamos o nosso ponto crítico.

Vamos fazer nossa análise de sinal dentro do nosso intervalo:

E temos que f π 4 = 0   , que é o nosso ponto de mínimo local , e não temos ponto de máximo local.

Passo 3

b) Gráficos:

Vemos que quando f ' < 0 , a função f é decrescente, e quando f ' > 0 a função é crescente, e também vemos o ponto de mínimo em x=0.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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