Uma placa fina de densidade constante δ = 1 ocupa a região delimitada pela curva y = 36 / (2x + 3) e pela reta x = 3 no primeiro quadrante. Determine o momento da placa em torno do eixo y .

Passo 1

O momento em torno de y é dado pela fórmula:

M y =   ∫ a b x   f x d x

Substituindo então, ficamos com:

M y = ∫ 0 3 x ( 36 2 x + 3 ) d x = ∫ 0 3 36 x 2 x + 3 d x    

Fazendo u = 2 x + 3 temos d u = 2 d x → d x = d u 2 → x = u - 3 2

∫ 36 u - 3 2 u d u 2

∫ 9 u - 3 u d u

Aí podemos fazer:

∫ 9 u - 27 u   d u = ∫ 9 - 27 u d u =   9 u - 27 ln ⁡ u + C

Passo 2

Agora nós voltamos para a variável x e jogamos os limites de integração:

9 u - 27 ln ⁡ u + C = [ 9 2 x + 3 - 27 ( ln ⁡ 2 x + 3 ) ] 3 0

18 x - 27 ln ⁡ 2 x + 3 ] 3 0  

Resolvendo...

18 ∙ 3 - 27 ln ⁡ 9 - - 27 ln ⁡ 3 = 54 - 27 ∙ 2 ln ⁡ 3 + 27 ln ⁡ 3

= 54 - 27 ln ⁡ 3

Que é o momento da placa em torno de y .

Resposta

54 - 27 ln ⁡ 3

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