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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.6 - Ex. 16

Um reservatório de água, com a forma de um cone, tem 6   m de diâmetro no topo e 4,5   m de profundidade. Se ele estiver cheio até uma profundidade de 3   m , qual é o trabalho necessário para bombear toda água até o topo do reservatório?

Passo 1

Vamos usar nossa criatividade para interpretar esse problema. Queremos o trabalho para bombear toda a água para cima. Podemos cortar nosso volume de água em fatias bem fininhas e considerar que a força para mover uma fatia é constante e deve superar a força peso.

Aí lembramos que para uma força constante:

W = F f a t i a d

Para descobrimos o trabalho total, devemos somar o trabalho realizado em cada fatia. Vamos lá!

Passo 2

Vamos descobrir o valor da força por fatia.

Já que nossas fatias são bem finas, podemos dizer que elas têm uma altura infinitesimal d x .

Mas como temos um cone, o raio dessas fatias vai variar com x (altura do cone a partir da ponta até a base).

Podemos usar semelhança de triângulos:

r f a t i a 3 = x 4,5 ∴ r f a t i a = 3 4,5 x

Logo, o volume fica:

V = 9 20,25 x 2 π d x = 0,444   x 2 π d x  

Para achar a força peso, podemos multiplicar o volume pela densidade de peso da água que é igual a 9810   N / m 3 . E como queremos que a força por fatia supere a força peso:

F f a t i a = P = 9810   V = 4355,6   x 2 π d x   N

Passo 3

Precisamos entender agora como é o nosso valor de d para cada fatia:

Repara que podemos escrever:

d = 4,5 - x  

Sendo que x vai de 0 a 3   m .

Passo 4

O trabalho fica com essa carinha:

W f a t i a = F d =   4355,6   x 2 π d x   ⋅ 4,5 - x = 4355,6   x 2 π 4,5 - x d x  

Mas queremos o trabalho total. Lembra que integrar também é calcular somatório:

W t o t a l = ∫ 0 3 4355,6   x 2 π 4,5 - x d x = 88200,9   π   N ⋅ m

Resposta

W t o t a l = 88200,9   π   N ⋅ m

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