Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.6 - Ex. 24
Segue da Lei de Coulomb da Física, que duas cargas eletrostáticas iguais repelem-se entre si com uma força inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas. Suponha que duas cargas e repelem-se com uma força de , quando localizadas nos pontos e , onde está medido em metros. Encontre o trabalho necessário para mover a carga ao longo do eixo até a origem se a carga ficar onde está.
Passo 1
O que ele quer dizer é que temos essa expressão para a força exercida em uma carga por outra de mesmo sinal nas redondezas:
E ele quer saber o trabalho realizado para aproximar essas cargas. Se tem uma aproximação, há aumento da força entre elas, porque a distância diminui. Logo temos uma força variável e o trabalho é dado por:
A gente só precisa montar essa expressão aí para encontrar o trabalho. Vamo que vamo!
Passo 2
Vamos achar os nossos extremos de integração. A gente quer mover a carga de para . Então podemos dizer:
Passo 3
Precisamos montar nossa expressão de para esse caso específico. Sabemos que ela tem essa cara:
Quem vai ser ? A distância entre as duas cargas que vai variar com . Queremos a distância entre o ponto e o ponto a gente pode escrever:
Belezinha?
E aí nossa força fica:
Mas quem é essa constante ? A gente pode usar a primeira situação que ele deu:
Passo 4
Só montar e calcular a integral agora.
Usando uma substituição simples, como :