Segue da Lei de Coulomb da Física, que duas cargas eletrostáticas iguais repelem-se entre si com uma força inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas. Suponha que duas cargas A e B repelem-se com uma força de kN , quando localizadas nos pontos A ( - a , 0 ) e B ( a , 0 ) , onde a está medido em metros. Encontre o trabalho W necessário para mover a carga A ao longo do eixo x até a origem se a carga B ficar onde está.

Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.6 - Ex. 24

Segue da Lei de Coulomb da Física, que duas cargas eletrostáticas iguais repelem-se entre si com uma força inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas. Suponha que duas cargas e repelem-se com uma força de , quando localizadas nos pontos e , onde está medido em metros. Encontre o trabalho necessário para mover a carga ao longo do eixo até a origem se a carga ficar onde está.

Passo 1

O que ele quer dizer é que temos essa expressão para a força exercida em uma carga por outra de mesmo sinal nas redondezas:

E ele quer saber o trabalho realizado para aproximar essas cargas. Se tem uma aproximação, há aumento da força entre elas, porque a distância diminui. Logo temos uma força variável e o trabalho é dado por:

A gente só precisa montar essa expressão aí para encontrar o trabalho. Vamo que vamo!

Passo 2

Vamos achar os nossos extremos de integração. A gente quer mover a carga de para . Então podemos dizer:

Passo 3

Precisamos montar nossa expressão de para esse caso específico. Sabemos que ela tem essa cara:

Quem vai ser ? A distância entre as duas cargas que vai variar com . Queremos a distância entre o ponto e o ponto a gente pode escrever:

Belezinha?

E aí nossa força fica:

Mas quem é essa constante ? A gente pode usar a primeira situação que ele deu:

Passo 4

Só montar e calcular a integral agora.

Usando uma substituição simples, como :

Resposta

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