Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 6.Revisão - Ex. 38
Uma tina cheia de água tem 2m de comprimento e sua seção transversal tem a forma de um semicírculo com diâmetro de 0,6m no topo. Qual é o trabalho necessário para bombear água da tina pela borda?
Passo 1
Se você assim como eu não sabe o que é uma tina, agora eu sei, põe no google, se você perguntar a sua mãe é capaz dela te zoar, experiência própria! Vamos começar!
Como ideia inicial, devemos escolher o eixo positivo com direção para baixo por ser um movimento vertical.
A origem será o topo da tina e a repartição será considerada nas dimensões da tina .
Essa é uma questão que usaremos a Soma de Riemann, então chamaremos de um ponto qualquer nesse intervalo .
Apenas um comentário sobre o que escrevemos acima, não liga muito para a formalidade, pense nesse intervalo como dois pontos de alturas distintas. Melhorou né!
Passo 2
Agora vem a parte de imaginar, pode parecer a pior parte, mas eu te garanto que depois de um tempo você terá facilidade com isso!
Pensaremos num elemento muito fino de mesma forma da superfície da tina, que é um semicírculo, esse elemento terá espessura e o raio desse elemento será de quanto??
Ora, vamos pensar! Se esse elemento tem a mesma forma da superfície e a superfície é um semicírculo de diâmetro igual a , esse elementozinho terá raio igual a que é .
Belezaa! Agora com o raio calculado e a espessura, podemos achar o volume desse elementozinho, lembrando que a área de um semicírculo é :
Passo 3
Vamos agora pensar no Peso da água para , lembrando que e gravidade igual a , temos que multiplicar a gravidade pela densidade e temos:
Voltamos a pensar no elementinho, qual será a força sobre ele?
Ora, será o peso de multiplicado pelo seu volume:
Imaginando dois pontos muito próximos um do outro, o que vai acontecer com a distância percorrida pelo elementinho?
Será igual a , pois é a posição de um ponto no eixo que adotamos, assim o trabalho desse elementinho será:
Pensando em todos os elementinhos teremos:
Para finalizar! Já estava na hora né, calcularemos essa integral: