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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 5.2 - Ex. 3a

Resolva a equação (overset(˙)(x) = (d x)/(d t) e overset(¨)(x) = (d^2 x)/(d t^2))

a ) overset(¨)(x) - 2 x = 0

Passo 1

Se usarmos, para esse caso que x = e^(lambda t) -> overset(˙)(x) = lambda e^(lambda t) -> overset(¨)(x) = lambda^2 e^(lambda t) , assim:

overset(¨)(x) - 2 x = 0 -> lambda^2 e^(lambda t) - 2 e^(lambda t) = e^(lambda t) (lambda^2 - 2) = 0

e^(lambda t) (lambda^2 - 2) = 0 -> lambda^2 - 2 = 0 -> lambda^2 = 2 -> lambda = +- sqrt(2)

Passo 2

Identificados os valores de lambda , podemos Agora reescrever o x pelo teorema que diz que se temos duas raízes lambda_1 e lambda_2 da equação característica (ou seja, a função e^(lambda t) (lambda^2 - 2) = 0 ), então se lambda_1 != lambda_2 podemos afirmar que:

x (t) = A e^(lambda_1 t) + B e^(lambda_2 t)

Assim, substituindo os valores de lambda_1 e lambda_2 :

x (t) = A e^(sqrt(2) t) + B e^(- sqrt(2) t)

Resposta

x (t) = A e^(sqrt(2) t) + B e^(- sqrt(2) t)

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Resolva a equaçãob) d 2 x d t 2 - 2 d x d t + x = 0
Resolva a equaçãoa) d 2 x d t 2 - 2 d x d t - 3 x = 0
Resolva a equaçãoc) d 2 x d t 2 - 4 x = 0
Determine a solução do problema.c) d 2 y d t 2 - 2 d y d t + y = 0 ,y 0 = 1ey ' 0 = 0
Determine a solução do problema.a) d 2 x d t 2 - 9 x = 0 ,x 0 = 1ex ' 0 = - 1