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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 5.2 - Ex. 2c

  1. Determine a solução do problema.

c) (d^2 y)/(d t^2) - 2 (d y)/(d t) + y = 0 , y (0) = 1 e y^' (0) = 0

Passo 1

Teorema,

  1. s e lambda_1 != lambda_2 , a s o l u ç ã o g e r a l d a e q u a ç ã o h o m o g ê n e a (lambda^2 + b lambda + c = 0) s e r á

    2. x = A e^(lambda_1 t) + B e^(lambda_2 t)

  2. s e lambda_1 = lambda_2 , a s o l u ç ã o g e r a l s e r á

x = A e^(lambda_1 t) + B t e^(lambda_1 t)

Passo 2

aplicando em nossa questão:

{[[(d^2 y)/(d t^2),-,2,(d y)/(d t),+,y,=,0],[y,(0),=,1,,e,,y^',(0),=,0]])

(d^2 y)/(d t^2) - 2 (d y)/(d t) + y = 0

Transformando no formato lambda^2 + b lambda + c = 0 ,

lambda^2 - 2 lambda + 1 = 0

Passo 3

Resolvendo...

lambda^2 - 2 lambda + 1 = 0

(lambda - 1) (lambda - 1)

As raízes dessa equação homogênea são,

lambda_1 = 1 , lambda_2 = 1

Pelo teorema, lambda_1 = lambda_2

Então a solução geral da equação,

y = A e^(1 * t) + B t e^(1 * t)

Passo 4

Agora, precisamos encontrar A e B,

y^' = A e^t + B t e^t + B e^t

Então,

{[[A,e^0,+,B,*,0,*,e^(2 * 0),=,1],[A,e^0,+,B,*,0,*,e^0,+,B,*,e^0,=,0]])

Ou

{[[A,=,1],[A,+,B,=,0]])

E, portanto, A = 1 e B = - 1 . A s o l u ç ã o d o p r o b l e m a é ,

x = e^t - t e^t

Resposta

y = e^t (1 - t)

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