Resolva a equação. (x˙ = dx/dt e x¨ = d²x/dt²)

b) x¨ + 5x˙ + 6x = 0

Passo 1

Se usarmos, para esse caso que x = e^(lambda t) -> overset(˙)(x) = lambda e^(lambda t) -> overset(¨)(x) = lambda^2 e^(lambda t) , assim:

overset(¨)(x) + 5 overset(˙)(x) + 6 x = 0 -> lambda^2 e^(lambda t) + 5 lambda e^(lambda t) + 6 e^(lambda t) = e^(lambda t) (lambda^2 + 5 lambda + 6) = 0

e^(lambda t) (lambda^2 + 5 lambda + 6) = 0 -> lambda^2 + 5 lambda + 6 = 0 -> (lambda + 3) (lambda + 2) = 0 -> lambda_1 = - 3 e lambda_2 = - 2

Passo 2

Identificados os valores de lambda , podemos Agora reescrever o x pelo teorema que diz que se temos duas raízes lambda_1 e lambda_2 da equação característica (ou seja, a função e^(lambda t) (lambda^2 + 5 lambda + 6) = 0 ), então se lambda_1 != lambda_2 podemos afirmar que:

x (t) = A e^(lambda_1 t) + B e^(lambda_2 t)

Assim, substituindo os valores de lambda_1 e lambda_2 :

x (t) = A e^(- 3 t) + B e^(- 2 t)

Resposta

x (t) = A e^(- 3 t) + B e^(- 2 t)

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