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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 5.2 - Ex. 3b

Resolva a equação. (overset(˙)(x) = (d x)/(d t) e overset(¨)(x) = (d^2 x)/(d t^2))

b ) overset(¨)(x) + 5 overset(˙)(x) + 6 x = 0

Passo 1

Se usarmos, para esse caso que x = e^(lambda t) -> overset(˙)(x) = lambda e^(lambda t) -> overset(¨)(x) = lambda^2 e^(lambda t) , assim:

overset(¨)(x) + 5 overset(˙)(x) + 6 x = 0 -> lambda^2 e^(lambda t) + 5 lambda e^(lambda t) + 6 e^(lambda t) = e^(lambda t) (lambda^2 + 5 lambda + 6) = 0

e^(lambda t) (lambda^2 + 5 lambda + 6) = 0 -> lambda^2 + 5 lambda + 6 = 0 -> (lambda + 3) (lambda + 2) = 0 -> lambda_1 = - 3 e lambda_2 = - 2

Passo 2

Identificados os valores de lambda , podemos Agora reescrever o x pelo teorema que diz que se temos duas raízes lambda_1 e lambda_2 da equação característica (ou seja, a função e^(lambda t) (lambda^2 + 5 lambda + 6) = 0 ), então se lambda_1 != lambda_2 podemos afirmar que:

x (t) = A e^(lambda_1 t) + B e^(lambda_2 t)

Assim, substituindo os valores de lambda_1 e lambda_2 :

x (t) = A e^(- 3 t) + B e^(- 2 t)

Resposta

x (t) = A e^(- 3 t) + B e^(- 2 t)

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Determine a solução do problema.b) d 2 x d t 2 - 2 d x d t = 0 ,x 0 = 0ex ' 0 = 1
Resolva a equação x ˙ = d x d te x ¨ = d 2 x d t 2 a )x ¨ - 2 x = 0
Resolva a equação. y ˙ = d y d te y ¨ = d 2 x d t 2 c )y ¨ - 7 y ˙ = 0
Resolva a equação. y ˙ = d y d te y ¨ = d 2 x d t 2 d )y ¨ - 10 y ˙ + 25 y = 0