Calcule o volume do sólido obtido pela rotação do círculo x^2 + y^2 ≤ 1 em torno da reta x + y = 2 .

Passo 1

Traçando a região dada e a reta no plano

Utilizando o método da questão 4 temos que o volume vai ser dado por

V = L ⋅ A

onde L é o comprimento da circunferência gerada pela revolução do ponto que representa o centro de massa da figura e A a área da figura.

Para a área, podemos simplesmente usar a fórmula

A = π r 2

Com r = 1

A = π

Passo 2

Para encontrar L , precisamos da distância entre o centro de massa do círculo e a reta. O centro de massa do círculo coincide com o centro do próprio círculo, portanto é 0,0 agora precisamos da distancia deste ponto para a reta.

A menor distância entre um ponto e uma reta vai ser o segmento que é perpendicular a reta, para isso vamos traçar outra reta perpendicular à y = 2 - x e passa pela origem. Como essa reta tem inclinação - 1 , para ser perpendicular a nova reta precisa ter inclinação 1 . A reta que tem inclinação 1 e passa pela origem é a y = x

Agora precisamos encontrar em que ponto essa reta intersecta a reta y = 2 - x , substituindo temos

x = 2 - x

2 x = 2

x = 1

y = 1

No ponto ( 1,1 ) , então precisamos da distância entre ( 0,0 ) e ( 1,1 )

d = 1 - 0 2 + 1 - 0 2 = 2

Passo 3

Com a distância entre o ponto e a reta, temos o raio da circunferência de revolução e podemos calcular o comprimento

L = 2 π d = 2 2 π

Substituindo na fórmula do volume temos

V = 2 2 π ⋅ π

V = 2 2   π 2

Resposta

V = 2 2   π 2

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