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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 5.2 - Ex. 3d

Resolva a equação. (overset(˙)(y) = (d y)/(d t) e overset(¨)(y) = (d^2 x)/(d t^2))

d ) overset(¨)(y) - 10 overset(˙)(y) + 25 y = 0

Passo 1

Se usarmos, para esse caso que y = e^(lambda t) -> overset(˙)(y) = lambda e^(lambda t) -> overset(¨)(y) = lambda^2 e^(lambda t) , assim:

overset(¨)(y) - 10 overset(˙)(y) + 25 y = 0 -> lambda^2 e^(lambda t) - 10 lambda e^(lambda t) + 25 e^(lambda t) = e^(lambda t) (lambda^2 - 10 lambda + 25) = 0

e^(lambda t) (lambda^2 - 10 lambda + 25) = 0 -> lambda^2 - 10 lambda + 25 = 0 -> (lambda - 5)^2 = 0 -> lambda_1 = 5 e lambda_2 = 5

Passo 2

Identificados os valores de lambda , podemos Agora reescrever o y pelo teorema que diz que se temos duas raízes lambda_1 e lambda_2 da equação característica (ou seja, a função lambda^2 - 10 lambda + 25 = 0 ), então se lambda_1 = lambda_2 podemos afirmar que:

y (t) = A e^(lambda_1 t) + B t e^(lambda_2 t)

Assim, substituindo os valores de lambda_1 e lambda_2 :

y (t) = A e^(5 t) + B t e^(5 t) = e^(5 t) ( A + B t )

Resposta

y (t) = e^(5 t) ( A + B t )

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