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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 4.2 - Ex. 28

Em cada um dos problemas de 11 a 28 , encontre a solução geral da equação diferencial dada.

28. y ( 4 ) + 6 y ' ' ' + 17 y ' ' + 22 y ' + 14 y = 0

Passo 1

Para começar esse problema, podemos comparar a EDO que temos que resolver com a equação característica...

r 4 + 6 r 3 + 17 r 2 + 22 r + 14 = 0

Essa equação característica é um pouquinho mais chata, pois infelizmente não é fácil de descobrir as raízes dela por Briot Rufini . Como o próprio Boyce sabe disso, ele nos sugeriu nessa questão que utilizemos um recurso computacional. Então usando aqui o WolframAlpha para resolver essa equação, obteremos as raízes complexas...

r 1 = - 1 - i

r 2 = - 1 + i

r 3 = - 2 - 3 i

r 4 = - - 2 + 3 i

Passo 2

Beleza, então podemos montar a solução dessa EDO de acordo com os valores de r . Vamos nessa?

Vamos começar montando as soluções fundamentais para dada r :

  • Para r 1 = - 1 - i como ele é complexo da forma a - b i ...

    • y 1 = e a t sin ⁡ b t = e - t sin ⁡ t

  • Para r 2 = - 1 + i como ele é complexo conjugado da raiz de cima...

    • y 2 = e a t cos ⁡ b t = e - t cos ⁡ t

  • Para r 3 = - 2 - 3 i como ele é complexo da forma a - b i ...

    • y 3 = e a t sin ⁡ b t = e - 2 t sin ⁡ 3 t

  • Para r 4 = - 2 + 3 i como ele é complexo conjugado da raiz de cima...

y 4 = e a t cos ⁡ b t = e - 2 t cos ⁡ 3 t

A solução geral então pode ser dada por...

y = c 1 y 1 + c 2 y 2 + c 3 y 3 + c 4 y 4   →

y = c 1 e - t sin ⁡ t + c 2 e - t cos ⁡ t + c 3 e - 2 t sin ⁡ 3 t + c 4 e - 2 t cos ⁡ 3 t

Onde c ’s representam as constantes que dependem das condições iniciais!

Resposta

y = c 1 e - t sin ⁡ t + c 2 e - t cos ⁡ t + c 3 e - 2 t sin ⁡ 3 t + c 4 e - 2 t cos ⁡ 3 t

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5. a) Provar que as funções s e nt e cos ⁡ t são ambas soluções de y ' ' + y = 0 b) Provar também que s e nt e cos ⁡ t são linearmente independentes.c) Achar a solução geral de y ' ' + y = 0 d) Achar
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