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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 9.Exercícios Práticos - Ex. 1

Resolva a equação diferencial.

y^' = x e^y sqrt(x - 2)

Passo 1

Analisando o lado direito da nossa equação diferencial percebemos que há apenas multiplicações e que as variáveis x e y não se misturam, logo, podemos separar um lado com tudo que tem y e no outro tudo que contém x , lembrando que y^' = (d y)/(d x) podemos reescrever nossa equação como sendo

(d y)/(d x) = x e^y sqrt(x - 2)

d y = x e^y sqrt(x - 2) d x

(d y)/(e^y) = x * sqrt(x - 2) d x

e^(- y) d y = x * sqrt(x - 2) d x

Agora, integrando ambos os lados poderemos encontrar f (x) = y que é nosso objetivo.

Passo 2

Integrando ambos os lados vamos ter

int e^(- y) d y = int x * sqrt(x - 2) d x

Podemos resolver cada uma das integrais separadamente e depois juntar os resultados para encontrarmos a resposta

(i) : int e^(- y) d y = - e^(- y) + C 1

(i i) : int x * sqrt(x - 2) d x

Fazendo x - 2 = u -> d u = d x

-> int x * sqrt(x - 2) d x = int (u + 2) * sqrt(u) d u = int u * sqrt(u) + 2 sqrt(u) d u = int u^(1 + (1)/(2)) d u + int 2 sqrt(u) d u

-> int u^((3)/(2)) d u + int 2 sqrt(u) d u =

-> (u^((3)/(2) + 1))/((3)/(2) + 1) + 2 * (u^((1)/(2) + 1))/((1)/(2) + 1) + C 2 =

-> (u^((5)/(2)))/((5)/(2)) + 2 * (u^((3)/(2)))/((3)/(2)) + C 2 = (2)/(5) * u^((5)/(2)) + (4)/(3) * u^((3)/(2)) + C 2

Retornando à variável x

-> ((2)/(5)) * (x - 2)^((5)/(2)) + ((4)/(3)) * (x - 2)^((3)/(2)) + C 2

Juntando ambos os resultados vamos chegar em : - e^(- y) = ((2)/(5)) * (x - 2)^((5)/(2)) + ((4)/(3)) * (x - 2)^((3)/(2)) + C

Sendo C = C 2 - C 1 = c o n s t a n t e q u a l q u e r

e^(- y) = - [((2)/(5)) * (x - 2)^((5)/(2)) + ((4)/(3)) * (x - 2)^((3)/(2))] - C

Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados obtemos

- y = ln [- [((2)/(5)) * (x - 2)^((5)/(2)) + ((4)/(3)) * (x - 2)^((3)/(2))] - C]

y = - ln [- [((2)/(5)) * (x - 2)^((5)/(2)) + ((4)/(3)) * (x - 2)^((3)/(2))] - C]

Resposta

y = - ln [- [((2)/(5)) * (x - 2)^((5)/(2)) + ((4)/(3)) * (x - 2)^((3)/(2))] - C]

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