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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 9.2 - Ex. 28a

Dedução da Equação 7 no Exemplo 4

a. Mostre que a solução da equação

d i d t + R L i = V L

seria:

i = V R + c e - R L t

Passo 1

Temos aqui uma EDO, que é dada pela Lei de Kirchoff:

L d i d t + R i = V

Reescrevendo a equação Linear, temos que:

d i d t + R L i = V L

Para resolver essa questão temos que calcular primeiro o fator integrante v dado por:

v = e ∫ P ( t ) d t

e depois aplicar isso à seguinte expressão:

i t = 1 v t ∫ f ⋅ v t d t + c

Passo 2

Com as expressões acima podemos resolver a EDO. Vamos aqui nomear na nossa equação cada termo das expressões do passo 1.

P t = R L

f = V L

Passo 3

Calculando o fator integrante temos:

v = e ∫ R L d t = e R L t

Passo 4

Substituindo na solução da edo, temos que:

i t = 1 e R L t ∫ V L e R L t d t ⇒ i t = e - R L t V L L R e R L t + c

i t = e - R L t V R e R L t + c = V R e - R L t e R L t + c e - R L t = V R e 0 + c e - R L t

i t = V R + c e - R L t

Resposta

A solução seria:

i = V R + c e - R L t

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