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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 9.Exercícios Práticos - Ex. 8

Resolva a equação diferencial:

y^' = (y^2 - 1) x^(- 1)

Passo 1

Vamos reescrever a equação...

y^' = (y^2 - 1) x^(- 1) -> y^' = (y^2 - 1) ((1)/(x))

Agora a gente passa o que tem y pra um lado, e o que tem x pro outro:

(y^')/((y^2 - 1)) = (1)/(x) -> (d y)/(y^2 - 1) = (d x)/(x)

Agora nós integramos os dois lados...

Passo 2

int (d y)/(y^2 - 1) = (1)/(2) ln ((y - 1)/(y + 1))

int (d x)/(x) = ln x

E acrescentamos a constante C...

(d y)/(y^2 - 1) = (d x)/(x) -> (1)/(2) ln ((y - 1)/(y + 1)) = ln x + C = ln ((y - 1)/(y + 1)) = 2 ln x + 2 C

Vamos colocar a constante em logaritmo também: 2 C = ln C_1 ...

ln ((y - 1)/(y + 1)) = 2 ln x + ln C_1 = ln ((y - 1)/(y + 1)) = ln x^2 + ln C_1

Passo 3

Agora a gente usa as propriedades do logaritmo pra “juntar” tudo:

ln ((y - 1)/(y + 1)) = ln ( C_1 x^2 )

E agora a gente pode “cortar” o logaritmo dos dois lados e...

ln ((y - 1)/(y + 1)) = ln ( C_1 x^2 ) = (y - 1)/(y + 1) = C_1 x^2

Essa é a solução da equação diferencial.

Resposta

(y - 1)/(y + 1) = C_1 x^2

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