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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 9.2 - Ex. 32

Resolva as equações de Bernoulli nos Exercícios 29-32:

x 2 y ' + 2 x y = y 3

Passo 1

Podemos reescrever a equação da seguinte forma:

x 2 d y d x + 2 x y = y 3

Passo 2

Percebemos que a equação acima é do tipo de Bernoulli. Disso, podemos escrever a equação de forma linear, fazendo a seguinte substituição:

u = y 1 - n

Onde n seria a ordem da EDO de Bernoulli. No caso da questão n = 3 . Assim:

u = y 1 - 3 = y - 2

u = y - 2   e que analogamente y = u - 1 / 2

Derivando ambos os lados por d d x teremos assim:

d u d x = - 2 y - 3 d y d x   e d y d x = 1 2 u - 3 / 2 d u d x  

Substituindo na EDO original teremos:

- 1 2 u - 3 / 2 d u d x + 2 x u - 1 / 2 = 2 x 2 u - 3 / 2

ou

d u d x - 4 x u = - 2 x 2

Temos aqui uma equação Linear, do tipo:

d u d x + P x u = f

Passo 3

Temos aqui uma EDO linear dada por:

d u d x - 4 x u = - 2 x 2

Para resolver essa questão temos que calcular primeiro o fator integrante v dado por:

v x = e ∫ P ( x ) d x

e depois aplicar isso à seguinte expressão:

u x = 1 v x ∫ f ⋅ v x d t + c

Onde:

P x = - 4 x

f = - 2 x 2

Passo 4

Calculando o fator integrante temos:

v x = e ∫ - 4 x d x = e - 4 l n   x

ou

e - 4 l n   x = x - 4

Passo 5

substituindo o fator integrante na solução da EDO, temos:

u x = 1 x - 4 ∫ - x - 4 ⋅ 2 x 2 d x ⇒ u x = 1 x - 4 ∫ - 2 x - 6 d x

u x = 1 x 3 x 3 + c ⇒ u x = x 4 2 5 1 x 5 + c = 2 5 1 x + x 4 c

Contudo, ainda temos que achar o valor de y . Assim:

y = 2 5 x + x 4 c - 1 / 2

Resposta

Logo o resultado será:

y = 2 5 x + x 4 c - 1 / 2

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