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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.Exercícios Práticos - Ex. 32

Resolva a equação diferencial

y^' = ([3 y * (x + 1)^2])/(y - 1)

Passo 1

Podemos perceber que a equação diferencial é separável, já que é possível separar o que tem x de um lado e o que tem y do outro, lembrando que y^' = (d y)/(d x) teremos

(d y)/(d x) = ([3 y * (x + 1)^2])/(y - 1)

(y - 1) d y = [3 y * (x + 1)^2] d x

((y - 1) d y)/(3 y) = (x + 1)^2 d x

Passo 2

Agora, podemos integrar ambos os lados e vamos chegar em

int ((y - 1) d y)/(3 y) = int (x + 1)^2 d x

Podemos resolver essas duas equações de maneira separada e juntar os resultados, então (i) : int (x + 1)^2 d x

Fazendo x + 1 = u -> d u = d x

int u^2 d u = (u^3)/(3) + C 1

Retornando para a variável x teremos (i) : ((x + 1)^3)/(3) + C 1

(i i) : int ((y - 1) d y)/(3 y)

int (y)/(3 y) - (1)/(3 y) d y = int (1)/(3) d y - int (1)/(3 y) d y

-> (y)/(3) - (ln |y|)/(3) + C 2

Juntando ambos os resultados e fazendo C = C 1 - C 2

(y)/(3) - (ln |y|)/(3) + C 2 = ((x + 1)^3)/(3) + C 1 (y)/(3) - (ln |y|)/(3) = ((x + 1)^3)/(3) + C 1 - C 2

(y)/(3) - (ln |y|)/(3) = ((x + 1)^3)/(3) + C

((1)/(3)) * [y - ln |y|] = ((x + 1)^3)/(3) + C

-> y - ln |y| = (x + 1)^3 + 3 C

Resposta

y - ln |y| = (x + 1)^3 + 3 C

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