Resolva a equação diferencial

y' = [3y * (x + 1)^2] / (y - 1)

Passo 1

Podemos perceber que a equação diferencial é separável, já que é possível separar o que tem x de um lado e o que tem y do outro, lembrando que y^' = (d y)/(d x) teremos

(d y)/(d x) = ([3 y * (x + 1)^2])/(y - 1)

(y - 1) d y = [3 y * (x + 1)^2] d x

((y - 1) d y)/(3 y) = (x + 1)^2 d x

Passo 2

Agora, podemos integrar ambos os lados e vamos chegar em

int ((y - 1) d y)/(3 y) = int (x + 1)^2 d x

Podemos resolver essas duas equações de maneira separada e juntar os resultados, então (i) : int (x + 1)^2 d x

Fazendo x + 1 = u -> d u = d x

int u^2 d u = (u^3)/(3) + C 1

Retornando para a variável x teremos (i) : ((x + 1)^3)/(3) + C 1

(i i) : int ((y - 1) d y)/(3 y)

int (y)/(3 y) - (1)/(3 y) d y = int (1)/(3) d y - int (1)/(3 y) d y

-> (y)/(3) - (ln |y|)/(3) + C 2

Juntando ambos os resultados e fazendo C = C 1 - C 2

(y)/(3) - (ln |y|)/(3) + C 2 = ((x + 1)^3)/(3) + C 1 (y)/(3) - (ln |y|)/(3) = ((x + 1)^3)/(3) + C 1 - C 2

(y)/(3) - (ln |y|)/(3) = ((x + 1)^3)/(3) + C

((1)/(3)) * [y - ln |y|] = ((x + 1)^3)/(3) + C

-> y - ln |y| = (x + 1)^3 + 3 C

Resposta

y - ln |y| = (x + 1)^3 + 3 C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre f .f'''(x) = cos(x), f(0) = 1, f'(0) = 2, f''(0) = 3
Encontre f .f''(x) = 20 * x^3 + 12 * x^2 + 4, f(0) = 8, f(1) = 5
Uma partícula move-se de acordo com os dados a seguir. Encontre a posição da partícula. v t = 1,5 t , s 4 = 10 .
Uma partícula move-se de acordo com os dados a seguir. Encontre a posição da partícula.v(t) = s * sen(t) - cos(t), s(0) = 0
Uma partícula move-se de acordo com os dados a seguir. Encontre a posição da partícula.a(t) = cos(t) + sen(t), s(0) = 0, v(0) = 5